w=w^((0))+∑_(m=1)▒(w^m e^(-imδt)-w^(-m) e^imδt )

که ρ ̃_ba^((0)) و w^((0)) جواب برای حالتی هستند که فقط میدان کنترلی E_0 می تواند حضور داشته باشد.
توجه داشته باشید که برای پایین ترین مقدار در دامنه میدان کاوشگر E_p ، تنها فرکانسهایی که می توانند در جواب معادلات (3- 17) حضور داشته باشند برای مقادیر 0 و ±δ هستند.
بنابراین درحضور همزمان میدانهای کاوشگر وکنترلی، اختلاف جمعیت، متناسب با اختلاف فرکانس میدانهای کنترلی و کاوشگر، نوسان هماهنگ دارد.
با جایگذاری معادلات (3-18) در معادلات حرکت ماتریس چگالی (3-17) و برابر قرار دادن عبارات با وابستگی یکسان زمانی با هم، به بررسی مسئله می پردازیم و برای عبارات همدوس وپارامتر وارونی جمعیت داریم:
(3-19- الف) ρ ̃_ba^0=(-(Ω_c 〖 w〗^0 + Ω_p 〖 w〗^(-1)))/((Δ-iγ_1 ) ) ,ρ ̃_ba^1=(Ω_c 〖 w〗^1 + Ω_p 〖 w〗^0)/((δ-∆+iγ_1 ) ) ,ρ ̃_ba^(-1)=(-Ω_c 〖 w〗^(-1))/((δ+∆-iγ_1 ) )
(3-19- ب) w^0=2Ωc/γ_1 Im [ρ_ba^0 ]+(2Ω_p)/γ_1 Im[ρ_ba^1 ]-1
(3-19- پ) w^1=(2iΩ_c (ρ_ba^(-1*)-ρ_ba^(-1) )+2iΩ_p ρ_ba^(0*))/(2γ_1-iΔ) ,w^(-1)=w^(1*)

عبارت همدوس ρ ̃_ba^1 رفتار دوپایایی نوری را مشخص می کند وآن را می توان از معادلات (3-19) بدست آورد. برای ∆=0 ، عبارت ρ ̃_ba^1 بصورت زیر می باشد:
برای γ_2≪γ_1
(3-20- الف) ρ ̃_ba^1=(-(δ-iγ_1 ) Ω_p [γ_1^4+2γ_1^2 (Ω_c^2+Ω_p^2 )+Ω_p^4 ])/(γ_2^6+2γ_2^4 (3Ω_c^2+2Ω_p^2 )+5γ_1^2 Ω_p^4+2Ω_p^6 )
وبرای γ_2≫γ_1 داریم:
(3-21- ب) ρ ̃_ba^1=(-(δ-iγ_1 ) Ω_p [γ_1^4+2γ_1^2 (Ω_c^2+Ω_p^2 )+2Ω_c^2 Ω_p^2+Ω_p^4 ])/(γ_2^6+2γ_2^4 (3Ω_c^2+2Ω_p^2 )+γ_1^2 (12Ω_p^4+8Ω_c^2 Ω_p^2+5Ω_p^4 )+(8Ω_c^6+2Ω_p^6+2Ω_c^2 Ω_p^4))

برای میدان کنترلی ضعیف، مرتبه اول اختلال برای مشخص کردن دوپایایی کافی است، و مرتبه های بالاتر اختلال در حضور میدانهای قویتر مهم هستند.

3- 2 ابزار نوری و شرایط مرزی
با توصیفات بالا رفتار دوپایایی نوری در داخل یک کاواک حلقوی نشان داده شده در شکل (3- 2) را بررسی می کنیم. میدان کنترلی از داخل سلولی که شامل مجموعه اتمهای دو ترازی است می گذرد ولی میدان کاوشگر ضمن عبور از سلول، درون کاواک می چرخد. مکانیسم چرخش میدان کنترلی عاملی برای ایجاد پدیده دوپایایی است.

شکل(3-2): طرح یک کاواک حلقوی با نمونه اتمی به طول L برای آیینه های 1 و 2 داریم R+T=1
برای سادگی روابط فرض می کنیم آینه های 3 و 4 دارای بازتابندگی 100% هستند و ضرایب بازتاب و عبور آینه های 1 و 2 ، R و T هستند ( با R+T=1). سیستم اتمی دو ترازی که با معادلات (3- 16 ) توصیف می شود یک مجموعه N تایی از اتمهای همگن پخش شده درون یک سلول به طول L می باشند.
میدان الکترومغناطیسی کلی که این اتمها می بینند E ⃗=E ⃗_0 〖 e〗^(-iω_c t)+E ⃗_p e^(-iω_p t)+c.c می باشد که میدان کاوشگر درون کاواک می چرخد اما میدان کنترلی درون کاواک نمی چرخد .
تحت تقریب موج کند تغییر، پاسخ میدان کاوشگر با توجه به معادلات ماکسول بصورت زیر می باشد:
(3-22) (∂E_p)/∂t+c (∂E_p)/∂2=i ω_p/(2cℇ_0 ) P_((ωp))
که در آن c و ℇ_0 به ترتیب سرعت نور وگذردهی خلاء هستند. P_((ω_p)) قطبش القایی درگذار |a→|b می باشد وبصورت P_((ωp))=Nμ_ba ρ ̃_ba محاسبه می شود. چون مسئله را در حالت ایستا بررسی می کنیم پس می توانیم داشته باشیم که (∂E_p)/∂t و با انتگرال گرفتن از بقیه جملات در کران های 0 تا L رواط زیر بدست می¬آیند:
(3-23- الف) c (∂E_p)/∂z=i ω_p/(2cℇ_0 ) P_((ωp))
(3-23- ب) ∫_0^L▒〖dE_p 〗=∫_0^L▒〖i ω_p/(2cℇ_0 ) P_((ωp)) 〗 dz
(3-23- پ) E_p (L)-E_p (0)=i (ω_p L)/(2cℇ_0 ) P_((ωp))
برای یک کاواک حلقوی کاملاً میزان شده در حالت ایستا و تحت شرایط مرزی بین میدان ورودی E_p^I ومیدان عبوری E_p^T ، روابط زیر حاکم است:
(3-24) E_p (L)=(E_p^T)⁄(√T , E_p (0))=√T 〖 E〗_p^I+R E_p (L)
با توجه به شکل (3- 2) میدان در ابتدای محیط غیر خطی شامل دو جمله است. جمله اول مربوط به میدان وارد شده به مشدد می باشد که بلافاصله بعد از عبور از آینه (1) وارد محیط غیرخطی می شود و دامنه آن با ضریب √T کاهش می یابد، دامنه در ابتدای سلول E_p (0) است. جمله دوم مربوط به میدانی می شود که از محیط غیرخطی عبور کرده و اینک با دوبار انعکاس از سطح آینه ها وپذیرش ضریب Rبرای دامنه آن دوباره به ابتدای محیط غیر خطی می رسد. دامنه میدان در انتهای سلول E_p (L) می باشد.
توجه داشته باشید که آینه های 3 و 4 به خاطر اینکه 100% بازتابان هستند تغیری در فاز میدان بازتابیده از سطحشان ایجاد نمی کنند.
توجه به این نکته لازم است که آنچه باعث رفتار دوپایداری نوری می شود، مکانیسم چرخش میدان کاوشگر درون محیط غیرخطی با استفاده از آینه ها است بطوریکه برای R=0 دوپایایی نمی تواند اتفاق بیفتد. حال با جایگذاری معادلات (3-23) در معادله (3-22) می توان رابطه ای برای میدان ورودی و خروجی بدست آورد. در حد میدان متوسط و با استفاده از شرایط مرزی معادلات (3-23) ، حالت ایستایی میدان عبوری بصورت زیر می باشد:

(3-25) y=x-2icγ_1 ρ ̃_ba^1 (x)
که y=μ_ba (E_p^I)⁄ℏ √T و x=μ_ba (E_p^T)⁄ℏ √T به ترتیب میدانهای نرمالیزه شده ورودی وخروجی هستند و پارامتر C=(Nω_p L μ_ba^2)/(2ℏE_0 cTγ_1 ) پارامتر مشارکت برای اتمهای درون کاواک نامیده می شود. یک نتیجه مهم از معادله (3- 22) اینست که میدان کاوشگر همدوس با ρ ̃_ba^1 نقش مهمی در بوجود آمدن دوپایایی دارد.
تاکنون به شرایط به وجود آمدن رفتار دوپایایی پرداخته ایم. اکنون به بررسی نتایج عددی دوپایایی شرایط متغیرهای پارامتریک می پردازیم. در محاسبه نمودارهای دوپایایی باید عبارتهای نوسانی در مرتبه های بالا ( بالای m=10) داشته باشیم.
با کاهش شدت میدان کنترلی آستانه دوپایای افزایش می¬آبد، علت اینست که برای فرکانسهای رابی بزرگ میدان کنترلی، جذب میدان کاوشگر ناچیز می شود و رفتار دوپایایی از بین می رود. چگونگی تغییر رفتار دوپایایی با مقادیر مختلف شدت میدان کنترلی، در شکل (3- 3) نشان داده شده است. نکته جالب اینجاست که در شدت میدان کنترلی صفر باز هم شاهد دوپایایی هستیم، یعنی حضور میدان کاوشگر به تنهای برای دوپایایی کافی است هرچند در پایین ترین حد آستانه خواهد بود. این نتیجه مانند نتیجه اثر استارک می باشد. میدانهای جفت کننده انتخاب شده عبارتند از:
Ω_c=0 (خط) ، Ω_c=γ (خط تیره ) ، Ω_c=2γ (نقطه) و Ω_c=3γ (نقطه – خط) .

شکل (3- 3): نمودار دوپایایی نوری برای شدت های مختلف میدان کنترلی. پارامترهای انتخاب شده ،
δ=0.0 ، ∆=0.0 ، γ_2=γ_1=2.0γ ، C=50 ،Ω_c=0 ، γ ، 2γ ، 3γ

نامیزانی میدان کنترلی (پمپ) از گذار تشدید اتمی Δ ، تاثیر مثبتی بر روی رفتار دوپایایی در جهت افزایش آستانه دوپایایی دارد. بطوری که کمترین آستانه دو پایایی در تشدید کامل اتفاق می افتد، در این حالت داریم:
(3-26) ω_ba=ω
در موارد دیگر جذب دوفوتونی و سه فوتونی باعث بالا رفتن میزان جذب می شود، در نتیجه با افزایش نامیزانی میدان کنترلی آستانه دوپایایی نیز افزایش می آید. اثر نامیزانی میدان کنترلی بر روی رفتار دوپایایی را در شکل (3- 4)، با استفاده از رسم منحنی ورودی-خروجی در نامیزانی های مختلف بررسی کرده ایم، نمودار دوپایایی برای Ω_c=2γ و همچنین مقادیر مختلف نامیزانی ∆=0 (خط) ، 2γ (خط تیره) ، 3γ (نقطه) ، رسم شده است، رابطه مستقیم نامیزانی میدان کنترلی و آستانه دوپایی به وضوح مشخص است.

شکل(3- 4): نمودار تاثیر نامیزانی میدان کنترلی از فرکانس تشدید اتمی بر روی رفتار دوپایایی. پارامترهای انتخاب شده،
δ=0.0 ، ∆=0.0 ، γ_2=γ_1=2.0γ ، C=50 ، ∆=0 ، 2γ ، 3γ

پارامتر مهم دیگری که در کنترل دوپایایی نقش دارد نامیزانی میان میدانهای کنترلی و کاوشگر می باشد. در شکل (3- 5) جذب میدان کاوشگر در حضور میدان کنترلی قوی بر حسب δ، رسم شده است .

شکل(3- 5): a) جذب میدان کاوشگر بر حسب δ برای Ω_c=2γ ، ∆=3γ و Ω_p=0.01γ (خط تیره) و γ (خط)
b) رفتار دوپایایی نوری را برای سه قله جذب میدان کاوشگر
می بینیم که سه قله در طیف جذبی میدان کاوشگر وجود دارد. قله مرکزی نزدیک δ=0 می تواند مانند شکل پراکندگی رایلی در نظر گرفته شود. قله سمت چپ با برچسب TP نشان داده شده است و به علت تشدید سه فوتونی بوجود می آید و قله سمت راست با بر چسب AC مانند تشدید جذب معمولی اتم اصلاح شده توسط اثر استارک ac می باشد. در شکل (3- 5) رفتار دوپایایی نوری را برای این سه قله رسم کرده ایم، خطوط خط، خط تیره و خط – نقطه دوپایایی را در TP ، RL و AC نشان می دهند .
در فصل اول به بررسی جوابهای اختلالی عناصر ماتریس چگالی پرداختیم، از این جوابها برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جذب و نهایتاً مرتبه های مختلف رفتار دوپایداری استفاده خواهیم کرد. بررسی رفتار دوپایایی با اعمال مرتبه های مختلف تقریب اختلال نشان می دهد که تقریب های مرتبه های بالاتر نتایج مشخص تری را حاصل نمی کنند. این موضوع در درشکل (3- 6) نشان داده شده است و برای دو شدت مختلف Ω_c=γ و Ω_c=2γ در دو قسمت a و b نشان داده شده است.

شکل(3- 6): تاثیر مرتبه های مختلف اختلال در رفتار دوپایایی نوری برای دو شدت مختلف a) Ω_c=γ و b) Ω_c=2γ
فصل چهارم
دوپایایی نوری درسیستم های اتمی سه¬ترازی مختلف
مقدمه
در سیستم دو ترازی با محدودیتهای روبرو بودیم که در اتم سه ترازی این محدودیتها وجود ندارد. سیستمهای سه ترازی مختلفی وجود دارد که شامل سیستم سه ترازی آبشاری و V– شکل و Λ– شکل هستند.[11- 13] بسته به اینکه هر سر سه تراز با میدانهای جفت کننده با هم در ارتباط باشند یا نه هر کدام از سیستمهای V– شکل و Λ– شکل نیز میتوانند سیستم باز یا بسته باشند. وجود دو قطبی های الکتریکی و اندرکنش بین آنها نیز از عواملی است که به تنوع روابط در سیستمهای اتمی سه ترازی می افزاید.[14و15]
4-1 دوپایایی نوری درسیستم اتمی سه¬ترازی نوع آبشاری
در این بخش رفتار دوپایایی نوری یک سیستم اتمی سه¬ترازی با ترازهای تقریباً هم فاصله واقع در یک کاواک حلقوی اپتیکی را بررسی می کنیم. اتمهای سه¬ترازی تحت شرایطی در نظر گرفته می¬شوند که گشتاورهای دوقطبی اتمی غیر متعامد باشند. تحت چنین شرایطی اثر همدوسی ناشی از گسیل خودبخودی (SGC) دارای اهمیت دو چندان می باشد. خواهیم دید که اثر SGC به طور مشخص رفتار دوپایایی نوری چنین سیستمی را تحت تاثیر قرار می دهد. سیستم اتمی مورد نظر در شکل (4-1) نشان داده شده است.

شکل(4-1): اتم سه¬ترازی نوع آبشاری اندرکنش کننده با میدان همدوس

گذار |1 ⟶|2 با یک میدان کاوشگر با فرکانس ω_p و گذار |2 ⟶|3 با یک میدان جفت کنندۀ دارای فرکانس ω_c تحریک می شود. فرکانسهای رابی برای این این میدانها به ترتیب Ω_1=μ ⃗_12.E ⃗_p و Ω_2=μ ⃗_23.E ⃗_c می شود. γ_1 آهنگ گذار از تراز |2 به تراز |1 و γ_2 آهنگ گذار از تراز |3 به تراز |2 می باشند. نامیزانی فرکانسی میدانهای لیزری جفت کننده و کاوشگر بصورت زیر تعریف می شوند:
(4-1- الف) ∆_2=ω_32-ω_(c ) و
(4-1- ب) ∆_1=ω_21-ω_p
معادلات ماتریس چگالی برای چنین سیستم اتمی تحت تقریب اندرکنش دوقطبی و موج چرخنده عبارتند از:
(4-2- الف) ρ ̇_33=-2γ_2 ρ_33-iΩ_2 ρ_32+i〖Ω^*〗_2 ρ_23
(4-2- ب) ρ ̇_11=2γ_1 ρ_22+iΩ_1 ρ_21-i〖Ω^*〗_1 ρ_12
(4-2- پ) ρ ̇_32=-i〖Ω^*〗_2 (ρ_33-ρ_22 )+(i∆_1-γ_1-γ_2 ) ρ_31-iΩ_1 ρ_31
(4-2- ج) ρ ̇_31=i〖Ω^*〗_2 ρ_21-i〖Ω^*〗_1 ρ_32+(i∆_1+i∆_2-γ_2)ρ_31
(4-2- چ) ρ ̇_21=iΩ_2