معرفی می شود. این مقیاس ثابت طول کمترین فاصله ای را در اطراف بار نقطه ای مشخص می کند که میدان الکتریکی اطراف بار دقیقاً از قانون کولن پیروی کند. (طبق فرض هفت) تجربیات آزمایشگاهی و ژئوفیزیکی نشان می دهد که در مقیاس های طولی تا متر قانون عکس مجذوری صادق است. در فاصله های کوچک تر بایستی کمتر به دنبال مدرکی که اغلب شامل فرض های اضافی است باشیم. به عنوان مثال تجزیه وتحلیل پراکندگی ذرات آلفا توسط رادرفور با ورقه های نازک، قانون کولن را تا فواصلی از مرتبه ی متر، به طور اساسی اثبات می کند، به شرط اینکه بتوان ذره ی آلفا و هسته را به صورت بارهای نقطه ای کلاسیکی که بصورت ایستا برهمکنش می کنند، (یعنی از ابر الکترونی بتوان چشم پوشی کرد) در نظر گرفت. در فواصل باز کوچکتر، مکانیک کوانتمی نسبیتی ضروری است و اثرات برهمکنش قوی وارد بحث می شوند. آزمایش های پراکندگی الاستیک با الکترونهای مثبت و منفی در اانرژی های مرکز جرمی تا نشان داده شده است که الکترودینامیک کوانتمی (نظریه ی نسبیتی الکترون های نقطه ای برهمکنش کننده با فوتون های بدون جرم ) برای فواصلی از مرتبه ی متر، صادق است. مقیاس انرژی است و در بین چند ده مگا الکترون ولت و مقیاس انرژی پلانک می باشد، تقریباً معادل است
با فرض دراین صورت بدست می آید پس می توان چگالی لاگرانژی را برای میدان نرده ای به صورت زیر نوشت .

حال می توان یک کنش کلی به صورت زیر تعریف کرد .

این کنش از دو قسمت هندسی و مادی تشکیل شده است. قسمت اول کنش هندسی و قسمت دوم کنش مادی و شامل ، که به ترتیب لاگرانژی الکترومغناطیسی، میدان نرده ای و قسمت مادی کنش هستند. که در این کنش ، ثابت کیهانشناسی و تانسور نرده ای خمش هستند. اگر از این کنش وردش بگیریم داریم:
که درآن است. اگر قسمت هندسی کنش را در ضرب کنیم.

و با توجه به رابطه زیر داریم.

با وردش از لاگرانژی، تانسور انرژی-تکانه و معادله ی دینامیکی میدان نرده ای داریم:

اکنون می توانیم تانسور اینشتین را به شکل زیر بنویسیم

با استفاده از کنش می توانیم معادلات دینامیکی بدست آوریم

معادله ی 3-20 دینامیک را مشخص می کند. در اینجا ثابت جفت شدگی تعریف می کنیم این ثابت تقریباً از مرتبه یک است. برای ساختن کمیت های قابل پیش بینی احتیاج به دانستن ویژگی های ماده ی غیر نسبیتی در معادله ی 3-20 داریم. پارامتری که با مشخص می شود و برابر چگالی الکترومغناطیسی به چگالی ماده ی باریونی است این مقدار در فرضیه ی های قبلی در حدود یک درصد تخمین زده شده است. اگر ما مدلی برای ماده در نظر بگیریم که پروتون به صورت پوسته ی باری با شعاع معادل شعاع پروتون باشد بر اساس این مدل کسر ماده ی باریونی موجود در عالم حدود 19/0 درصد کل ماده موجود در عالم خواهد شد. بنابراین مقدار نیاز به وجود کسری از ماده دارد که غیر باریونی است، نکته ای که در در فرضیه های قبلی در نظر گرفته نشده است. پس، وابستگی قوی به طبیعت ماده ی تاریک دارد. فرضیه ی سنتز هسته ای انفجار بزرگ مقدار تقریبی برای چگالی ماده باریونی پیش بینی می کند که به صورت. است. اگر پارامتر هابل را برابر بگیریم، چگالی ماده ی باریونی تقریباً برابر 03/ درصد کل ماده ی موجود در عالم است. از طرفی باور بر این است که چگالی ماده ی موجود در عالم در حدود است این بدان معنی است که حدود یک دهم ماده ی موجود در عالم باریونی است که می تواند با بار الکتریکی جفت شود البته اگر ماده ی تاریک سرد مقادیر کمی داشته باشد یا این ماده مولفه ی الکترواستاتیک کولنی نداشته باشد. اگر این گفته درست نباشد بایستی مقدار خیلی بیشتری داشته باشد .
از تانسورهای انرژی-تکانه 3-14، 3-15 و 3-16مولفه ی به صورت زیر به دست می آیند:

حال اگر این مولفه ها را در معادله ی 3 -17 قرار دهیم معادله اول یا به صورت زیر به دست می آید

اگر پایستگی انرژی را در معادله ی 3-24 اعمال کنیم داریم:

بنابراین معادلات پایستگی برای تابش و قسمت مادی به صورت زیر بدست می آیند.

در حالت کلی قادر به حل معادله های بالا به جزء در چند مورد خاص نیستیم ، با آنکه معادلات عام فریدمن امکان تعیین چند الگوی تحول کیهانشناسی در حضور ماده، تابش، خمیدگی و ثابت کیهانشناسی مثبت را به طور تقریبی دارد. ما بایستی حل هایی از این معادلات را تا زمانی که جهان پیوسته با انرژی جنبشی میدان نرده ای ، غبار، تابش، خمیدگی خاص منفی و ثابت کیهانشناسی مثبت غالب می شود بررسی کنیم .
2-3 عصر سلطه ی غبار :
اگر فرض کنیم در این عصر باشد معاد له ی 3-24 به صورت زیر در می آید .

در حالتی که جهان فقط شامل غبار باشد معادله 3-34 به صورت زیر در می آید.

ما به دنبال جوابی برای معادله ی 3-31هستیم که در شرایط حدی با جواب معادله ی 3-35 سازگار باشد . معادله ی 3-31 را می توان به صورت زیر نوشت :

که در آن N یک ثابت مثبت و به صورت زیر تعریف می شود.

تغییر متغیر را در نظرمی گیریم بنابراین:

معادله ی 3-38 برای زمان های اولیه رفتاری دارد که برای هیچ قاعده ی توانی با رفتار فاکتور مقیاس معادله ی3-35 سازگار نیست. اما در زمان های پایانی یعنی هنگامیکه سیستم می خواهد به حالت جدید برود جواب معادله ی3-35 و معادله ی 3-38 که شکل دیگر معادله ی 3-36 است به طور مجانبی به هم نزدیک می شوند در زمان های پایانی رفتار مجانبی معادله ی3-38 به صورت سری برگشتی زیر در می آید :

اگر این معادله را در معادله ی 3-38 جایگذاری کنیم داریم:

حال اگر را مرتب کنیم برای اریم:

بنابر این داریم:

برای مقادیر خیلی بزرگ می توانیم بنویسیم:

اگر را جایگذاری کنیم برای زمان های پایانی داریم :

با جایگذاری در رابطه ی برای وقیکه داریم

بطور تقریبی داریم :

این رفتار مجانبی که به کمک حل عددی معادلات3-24، 3-31و 3-34 برای با استفاده از مقادیر اولیه ی که در شکل 3-1 رسم شده است تأیید می شود. می توان را برحسب تابع انتگرال لگاریتمی زیر نیز نوشت:

حال بایستی فرض اصلی را در معادله های فریدمن(معادله ی3-34) بررسی کنیم تا این جواب خود سازگار باشند یعنی جواب معادله ی 34-3 در زمان های پایانی به حل نزدیک شود. هنگامی که در معادله ی 34-3 زمان (یعنی در زمانهای پایانی دوره ی غبار) عبارت مقدار ناچیزی خواهد داشت که می توان از آن صرف نظر کرد از طرفی عبارت سریعتر افت می کند . پس معادله ی 34-3 به شکل زیر در مآید.

از طرفی وقتی جهان فقط شامل غبار تنها باشد جواب معادله فریدمن به شکل زیر است.

پس جواب در زمان های پایانی عصر غبار یک رفتار همه جایی دارد و با 3-34 سازگار است. اگر شکل معادله ی 3-43را بررسی کنیم مشاهده می کنیم که با زمان افزایش می یابد البته تا زمانی که این رشد برای عبارت هایی نمایی سمت راست معادله ی 3-34 اثر قابل توجهی داشته باشد. آهنگی که α با آن رشد می کند با چگالی نهایی ماده که رابطه ی مستقیمی با دارد کنترل می شود. مقادیر بیشتر چگالی ماده (و بنابراین ) باعث رشد بیشتر α می شود. اما به خاطر تغییرات زمانی لگاریتمی وابستگی به و ضعیف است .

شکل3-1 نمودار تغییرات برحسب رسم شده است که در زمان های پایانی دوره ی غبار با را رابطه ی سازگاری دارد .
3-3 عصر سلطه تابش
اگر فرض کنیم در عصر تابش و وابستگی زمانی فاکتور مقیاس به صورت باشد. این فرضیات ما را به حل معادله ی 3-31هدایت می کند .

برای معادله 3-53 یک جواب حدسی به صورت زیردر نظر می گیریم.

این جواب را امتحان در معادله ی 3-53 می کنیم

پس جواب 3-54 یک جواب دقیق برای 3-53 است. برای بررسی پایداری این جواب یک اختلال به صورت به این جواب اضافه می کنیم.

برای اختلال های بزرگ است. بنابراین می توان از آن صرف نظر کرد در این صورت معادله 3-59 به شکل زیر در می آید .

که در آن یک ثابت اختیاری است. هنگامیکه افزایش یابد جواب این معادله به نزدیک می شود که همان مشتق جواب ویژه با علامت مخالف است. پس برای مقادیر بزرگتر از این، جواب صفر است یعنی ثابت است مگر اینکه اختلال کوچک باشد و به جواب حل دقیق 3-54 نزدیک شود.
برای ایجاد پایداری جواب حل دقیق نیاز به بررسی اختلال های کوچک در اطراف آن داریم.

برای حل معادله ی61-3 با تغییر متغیر داریم:

جواب معادله ی 3-64 به صورت زیر است.

جواب و در نهایت ثابت ساختار ریز α به صورت زیر است

هنگامی که جواب 3-67 به شکل زیر در می آید:

بایستی چک کنیم هنگامی که زمان به سمت بی نهایت میل می کند عبارت غالب نباشد. ابتدا فرض می کنیم جهان فقط تحت سلطه ی تابش است و میدان نرده ای وجود ندارد در این صورت داریم:

هنامیکه میدان نرده ای را نیز در نظر می گیریم با بدست آودرن داریم:

وقتی که خیلی زیاد می شود عبارت تقریب نزدیکی از چگالی تابشی می شود . اگر فرض کنیم برای چگالی مادی داریم

که به دلیل تغییرات α از مرتبه ی عبارت چگالی تابشی است، پس فرض هنوز تقریب خوبی است .
یک ثابت جبری در معادله ی فریدمن وجود دارد اگر در این معادله به جای قرار دهیم داریم:

اگر است در این صورت داریم :

دوباره رفتار مجانبی معادله های 3-65 و 3-66 به حل دقیق معادله ی 3-24 نزدیک می شود این مطلب توسط حل های عددی معادله ها ی 3-26 و 3-31 در مرحله ی تابش را تایید می کند. این حل عددی برای مقادیر و و همان مقادیر برای در شکل 3-2 رسم شده است. در این شکل مشاهده می کنیم که هر چه مقدار اولیه ی بیشتر از باشد ثابت می ماند تا زمانیکه به مقدار جواب پیش بینی شده در بالا برسد.

شکل 3-2حل عددی برای و همان مقادیر برای
3-4 دوره ی سلطه ی خمیدگی
اگر عالم باز و تحت سلطه ی یک خمیدگی منفی خاص باشد به طوری که از جمله های معادله ی 3-24در مقابل (ثابت خمیدگی) چشم پوشی کنیم در این صورت معادله به شکل زیر در می آید.

دوباره بایستی معادله ی 3-31را برای این حالت حل کنیم. با توجه به 3-76 بایستی ثابت باشد، بنابراین نیز بایستی ثابت باشد پس به دنبال جوابی به شکل زیر هستیم.

را به این دلیل اضافه کرده ایم تا پایداری جواب را برای مقادیر کوچک بررسی کنیم.
برای مقادیر کوچک داریم:
اگر تغییر متغیر را در نظر بگیریم داریم:

برای حل این معادله ابتدا جواب معادله کمکی زیر را بدست می آوریم:

جواب این معادله به شکل زیراست.

که در آن یک مقدار ثابت می باشد و چون مثبت است قسمت حقیقی آن از معادله حذف می شود.

که ومقدار ثابتی است. در این مورد نیز بایستی عبارت را برای عصر خمیدگی چک کنیم تا معلوم شود که این عبارت غالب نیست. برای در زمان های پایانی ( ) متناسب با تغییر می کند در صورتیکه برای سلطه ی خمیدگی در زمان های پایانی به صورت است. می بینیم که سریعتر از افت می کند به خاطر اینکه است . پس تقریبی که استفاده کرده ایم خوب است. ما نشان دادیم در جهان های باز فریدمن وقتی جهان تحت یک سلطه ی خمیدگی خاص باشد α به سرعت به یک مقدار ثابت نزدیک می شود. آهنگ نزدیک شدن به مقدار ثابت به کمک چگالی ماده از طریق کنترل می شود. این رفتار دوباره به کمک راه حل های عددی که در شکل3-3 رسم شده است تایید می شود

شکل 3-3نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه خمیدگی جایی که تغییرات α به پایان می رسد نشان می دهد. در نمودار پایانی تابش را با نقطه چین ، ماده را با خط پر و خمیدگی را با خط چین نشان داده ایم .
3-5 عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسی
در این حالت ثابت کیهانشناسی بر تمام جمله های سمت راست معادله ی3-24 غالب است پس می توانیم بنویسیم

در رابطه 3-90 حال با جایگذاری معادله ی 3-90در معادله ی 3-31 داریم:

که جواب معادله برابر است با:

که در آن و مقادیر ثابتی هستند. معادله ی 3-92 نشان می دهد که مقدار (چگالی میدان نرده ای) وقتی زمان به اندازه ی کافی در عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسی افزایش می یابد بسیار ناچیز است. ثابت ساختار ریز در این دوره به سرعت و با توان نمایی به مقدار ثابت نزدیک می شود.

شکل 3-4 نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه ثابت کیهانشناسی جایی که تغییرات α به پایان می رسد را نشان می دهد. در نموداردوم تابش را با نقطه چین، ماده را با خط پر و سلطه ثابت کیهانشناسی را با خط چین نشان داده ایم .
3-6 جهان های تورمی
رفتاری که برای جهان های تحت سلطه ی در بحث بالا پیدا شد ما را قادر به درک این مطلب می کند که جهان چگونه از طریق یک عصر تورم دسیتری مراحل تغییر α کیهانی را طی کرده است. واضح است که این محاسبات را برای هر کیهانشناسی که تحت قاعده ی تورم توانی باشد می توان به کار برد. برای بررسی تغییر α فرض می کنیم که مدل فریدمن شامل یک گاز کامل با معادله ی حالت ، است و ضریب مقیاس به شکل افزایش می یابد. در این صورت چون