از این رو حالات همدوس از اهمیت ویژه ای در این رشته برخوردارند.
از دیگر خواص حالات همدوس این است که دارای توزیع پواسونی می باشند زیرا احتمال آشکار سازی تعداد n فوتون به صورت زیر است
P_n=〖||〗^2=e^(〖-|α|〗^2 ) 〖|α|〗^2n/n!=e^(-n ̅ ) n ̅^n/n!(3-5)
که |α|^2میانگین تعداد فوتون میدان است
〖n ̅=α|N ̂ |α =|α|〗^2

شکل (3-1) عدم قطعیت حالات همدوس در فضای فاز

حالات همدوس را می توان با اعمال عملگر جابجایی D ̂(α)بر حالت خلاء به صورت زیر بدست آورد
D ̂(α)=exp⁡〖(αa^+ 〗-α^* a) (3-6)
D ̂(α)|o =e^((αa^+-α^* a)) |o =e^(-1/2 〖|α|〗^2 ) e^(αa^+ ) e^(-α^* a) |o
از آنجایی که e^(-α^* a) |o =o
e^(αa^+ ) |o =∑_(n=o)^∞▒〖α^n/n! 〖(a^+)〗^n |o = 〗 ∑_(n=o)^∞▒〖α^n/√n! |n〗
بنابراین داریم
D ̂(α)|o =e^(-1/2 |α|^2 ) ∑_(n=o)^∞▒〖α^n/√n! |n〗=|α(3-7)
از دیگر ویژگی های حالات همدوس این است که آنها متعامد نیستند و رابطه تمامیت نیز در موردشان به شکل زیر داده می شود
∫▒〖|αα| (d^2 α)/π=1〗 (3-8)
3-3 میدان گربه ای شرودینگر
مهمترین نوع غیر کلاسیکی میدان، حالت گربه ای شرودینگر (|C) است که به صورت برهم نهی از دو میدان همدوس که دارای دامنه یکسان و فاز کاملا مخالف هم می باشند (180’)، تعریف می شود.
|C =μ{|α+e^iφ |-α}(3-9)
که μ ثابت بهنجارش است و به شکل زیر داده می شود.
μ=〖(2+2 exp⁡〖(-2α^2 ) cos⁡φ 〗)〗^(-1/2)(3-10)
بسته به مقدار φ، حالت های مختلف گربه ای را داریم که در اینجا سه نوع از مهمترین آنها را معرفی می کنیم. برای φ=o، حالت گربه ای زوج نامیده می شود و به شکل زیر می باشد
|C_e =μ_(e ) {|α+|-α} , μ_(e )=1/√2 〖 (1+exp⁡(-2α^2 ))〗^(-1/2)
(3-11)
برای φ=π، حالت گربه ای فرد نامیده می شود و به شکل زیر می باشد
|C_o =μ_o {|α-|-α} , μ_(o )=1/√2 〖 (1-exp⁡(-2α^2 ))〗^(-1/2)
(3-12)
و برای φ=π/2، داریم
|C_i =μ_(i ) {|α+i|-α} , μ_(i )=1/√2(3-13)
هر سه حالت، ویژه تابع مربع عملگر فنا می باشند
a^2 |C =α^2 |C(3-14)
3-4 حالات فشرده
دیدیم که در حالات همدوس میزان عدم قطعیت به حداقل می رسید. یعنی خطا در دو راستای عملگرهای مربعی X_1و X_2برابر و هرکدام ، مقدار 1/2بود. اما گاهی اوقات در مخابرات کوانتومی فقط هدف ما این است که خطا را در یک راستا کاهش دهیم و راستای دیگر برای ما فاقد اهمیت است. به عنوان مثال در راستای X_1عدم قطعیت را کاهش دهیم، کمتر از -1/2 و مسلما در راستای X_2این مقدار بیشتر از 1/2 می شود. حالات فشرده از چنین خاصیتی برخوردار هستند. یک حالت فشرده خلا با اثر کردن عملگر فشردگی S ̂(γ) روی حالت خلأ بدست می آید.
|s_o =S ̂(γ)|oS ̂(γ)=exp⁡〖[-γ/2 (a^+ )^2+γ^*/2 (a)^2]〗(3-15)
که در آن γ=re^iθیک عدد مختلط است. واضح است که این عملگر یکانی است.
{S ̂^+ (γ)=S ̂^(-1) (γ)}. برای محاسبه عدم قطعیت عملگرهای مربعی ، ابتدا روابط زیر را در نظر می گیریم
S ̂^+ (γ) a S ̂(γ)=a cosh⁡r-a^+ e^iθ sinh⁡r
S ̂^+ (γ) a^+ S ̂(γ)=a^+ cosh⁡r-ae^(-iθ) sinh⁡r(3-16)
که این دو رابطه را می توان به راحتی از اتحاد معروف بیکر-کمبل-هاسدروف بدست آورد
exp⁡〖(μ)〗 ϑ exp⁡〖(-μ)〗= ϑ+[μ,ϑ]+1/2! [μ,[μ,ϑ]]+1/3! [μ,[μ,[μ,ϑ]]]+⋯
(3-17)
محاسبه عدم قطعیت در راستاهای X_1و X_2
(∆X_1 ) = 〖X_1〗^2-〖〗^2
〖X_1〗^2=1/4 [a^2+〖(a^+)〗^2+aa^++a^+ a],
= γ|a|γ = ,
= γ|a^2 |γ = )(3-18)
با استفاده از روابط (3-16) و (3-18) عدم قطعیت برای عملگرهای مربعی به شکل زیر محاسبه می شود
(∆X_1 )^2 =1/4(cosh^2⁡r+sinh^2⁡r-2 sinh⁡r cosh⁡r cos⁡θ)
(∆X_2 )^2 =1/4(cosh^2⁡r+sinh^2⁡r+2 sinh⁡r cosh⁡r cos⁡θ)(3-19)
اگر پارامتر γ را حقیقی بگیریم، یعنی θ=oیا θ=π، عدم قطعیت ها به صورت زیر نوشته می شود
θ=π {█((∆X_1 )^2 =1/4 exp⁡〖(2r)〗@(∆X_2 )^2 =1/4 exp⁡〖(-2r)〗 )┤ , θ=o {█((∆X_1 )^2 =1/4 exp⁡〖(-2r)〗@(∆X_2 )^2 =1/4 exp⁡〖(2r)〗 )┤
(3-20)
همانطور که می بینیم دیگر عدم قطعیت یا نوفه در دو راستا برابر نیست و می توان با تغییر پارامتر r خطا را در یک راستا کاهش و در راستای دیگر افزایش داد. شکل دایره در فضای X_1و X_2در مورد حالات همدوس، به یک بیضی در مورد حالات فشرده تبدیل می شود (شکل (3-2)).یک حالت فشرده همدوس را می توان با اعمال عملگر فشردگی روی حالت همدوس بدست آورد.
|s_α =S ̂(γ)|α(3-21)
با فرض این که γ عدد حقیقی است، می توان عملگر فشردگی را به صورت زیر نوشت
exp⁡{γ/2 (-(a^+ )^2+a^2 )}=exp⁡〖(η(a^+ )^2)〗 exp⁡〖(λ aa^+)〗 exp⁡〖(ζa^2)〗 (3-22)

شکل (3-2) عدم قطعیت حالت فشرده در فضای فاز
با معرفی عملگرهای زیر که معادل ماتریس های اسپینی می باشند
k^+=(a^+ )^2=(■(o&[email protected]&o)) k^-=a^2=(■(o&[email protected]&o))
k_o=a^+ a=1/2 (■(1&[email protected]&-1)) [k^+,k^-]=-2k_o(3-23)
و با استفاده از بسط exp⁡x=∑▒x^n/n! داریم
exp⁡(ηk^+ )=(■(o&η@o&1)) exp⁡〖(λk_o) 〗= (■(e^(λ/2)&[email protected]&e^(-λ/2) ))
exp⁡(ζk^- )=(■(1&[email protected]ζ&1))(3-24)
از طرفی، طرف سمت چپ رابطه (3-22) را اگر به شکل ماتریسی نمایش دهیم به عبارت زیر
می رسیم
exp⁡{γ/2 (-(a^+ )^2+a^2 )}=exp⁡{γ/2 (〖k^+-k〗^- )}=(■(cosh⁡〖γ/2〗&sinh⁡〖γ/2〗@sinh⁡〖γ/2〗&cosh⁡〖γ/2〗 ))
(3-25)
با قرار دادن روابط (3-24) و (3-25) در معادله (3-22) داریم
(■(cosh⁡〖γ/2〗&sinh⁡〖γ/2〗@sinh⁡〖γ/2〗&cosh⁡〖γ/2〗 ))=(■(o&η@o&1))(■(e^(λ/2)&[email protected]&e^(-λ/2) ))(■(1&[email protected]ζ&1))(3-26)
و با حل معادلاتی که از رابطه (3-26) بدست می آید داریم
exp⁡{γ/2 (-(a^+ )^2+a^2 )}=exp⁡〖(〖(a^+ )^2 tanh〗⁡〖γ/2〗)〗 exp⁡〖[-(ln⁡cosh⁡〖γ/2〗 )(2aa^+)〗
(3-27)
و در نهایت حالت فشرده همدوس به شکل زیر بدست می آید که این رابطه در محاسبات کمک زیادی می کند،

|s =(cosh⁡〖γ/2〗 )^4 exp⁡{-|α|^2/2+tanh⁡(γ/2) α^2+|α (cosh⁡〖γ/2〗 )^4 |^2/2} ×
exp⁡〖-{tanh⁡(γ/2) 〖a^+〗^2 }〗 | (cosh⁡〖γ/2〗 )^4 α (3-28)

3-5 جفت شدگی
ناوردایی پیمانه ای آغازی برای تئوری های پیمانه ای نظیر الکترودینامیک کوانتومی است و به نوعی خالق یک رابطه جفت شدگی میان میدان هاست. 1) جفت شدگی کمینه؛ این نوع جفت شدگی کمینه میان ذره ی باردار و میدان الکترومغناطیسی روی می دهد. ذره ی باردار با بار (e)، جرم m_e و در موقعیت (r_e ) ⃗ در نظر گرفته می شود. 2) جفت شدگی دو قطبی الکتریکی با میدان الکتریکی؛ در این حالت، اتم به عنوان یک دو قطبی در نظر گرفته می شود که با بخش الکتریکی میدان الکترومغناطیسی اندرکنش دارد. اکنون به بررسی جفت شدگی کمینه می پردازیم.
می دانیم که در حضور میدان الکترومغناطیسی، تکانه ی الکترون را که با (P_e ) ⃗ نمایش داده
می شد. اکنون با (P_e ) ⃗-eA ⃗ نمایش داده می شود. در نتیجه هامیلتونی ابتدایی سیستم که با در نظر گرفتن 〖V(r〗_e) به عنوان پتانسیل مرکزی میان الکترون و هسته، بصورت
H ̂_o=1/(2m_e ) P ⃗_e^2+V(r_e)(3-29)
بود، اکنون به شکل زیر تبدیل می شود.
H ̂(r,t)=1/(2m_e ) (P ⃗_e^ -eA ⃗(r,t))^2-eϕ(r,t)+V(r)(3-30)
که ϕ(r,t) و A ⃗(r,t) به ترتیب بیان کننده ی پتانسیل های نرده ای و برداری میدان خارجی هستند و از روابط زیر تبعیت می کنند.
E ⃗(r ⃗,t)=-(∂A ⃗(r ⃗,t))/∂t-∇ ⃗ϕ(r ⃗,t)(3-31)
B ⃗(r ⃗,t)=∇ ⃗×A ⃗(r ⃗,t)(3-32)
در نتیجهE ⃗ و B ⃗ تحت تبدیلات زیر ناوردا می باشند.
ϕ^’ (r ⃗,t)=ϕ(r ⃗,t)-(∂x(r ⃗,t))/∂t(3-33)
A ⃗'(r ⃗,t)=A ⃗(r ⃗,t)+∇ ⃗x(r ⃗,t)(3-34)
توجه داریم که بخش اندر کنش اتم و میدان در اولین جمله ی (3-30) نهفته است. اکنون ψ^o (r) ، ψ(r ⃗,t)و ψ'(r ⃗,t)را به ترتیب به عنوان ویژه بردارهای H ̂_o ، H ̂و H ̂’ معرفی
می کنیم و به کمک معادله شرودینگر مستقل از زمان خواهیم داشت
H ̂_o ψ^o (r ⃗ )=E^o ψ^o (r ⃗ )
H ̂ψ(r ⃗,t)=iℏ ∂ψ(r ⃗,t)/∂t(3-35)
H ̂^’ ψ'(r ⃗,t)=iℏ ∂ψ'(r ⃗,t)/∂t
که
H ̂^’=R ̂H ̂R ̂^++iℏ (∂R ̂)/∂t R ̂^+
ψ'(r ⃗,t)=R ̂ψ(r ⃗,t)(3-36)
و R را به صورت تبدیل یونیتاری exp⁡(-i/ℏ ex(r ⃗,t)) تعریف می کنیم. اکنون به کمک H ̂^’ ،
H ̂'(r,t)=1/(2m_e ) (P ̂+eA^’ )^2-eϕ’+V(r)(3-37)
و روابط (3-33) و (3-34) خواهیم داشت
H ̂'(r,t)=1/(2m_e ) (P ̂+e(A ⃗+∇ ⃗x))^2-e(ϕ-∂x/∂t)+V(r)(3-38)
در این مرحله از پیمانه کولن کمک می گیریم، که در آن ∇ ⃗.A ⃗=o و ϕ=o است. با توجه به اینکه هیچ منبعی از بار و جریان در این پیمانه وجود ندارد، پتانسیل برداری A ⃗ از معادله موج تبعیت می کند.
∇^2 A-1/c^2 (∂^2 A)/(∂t^2 )=o(3-39)
و پاسخ زیر برای این معادله ارائه می شود.
A ⃗(r ⃗,t)=A ⃗_o exp⁡(i(k ⃗.r ⃗-ωt))+c.c(3-40)
که |k ⃗|=2π/λ بردار موج است. از آنجایی که در محدوده ابعاد اتمی r ⃗، در حد چند آنگستروم و λ در حد طول موج نور مرئی (400-700 نانومتر) است، لذا k ⃗.r ⃗≪1 خواهد بود و
A ⃗(r ⃗,t)=A ⃗(t). چنین تقریبی به تقریب دو قطبی شهرت دارد و با استفاده از آن، از بخش های چهار قطبی الکتریکی و … صرفنظر می شود.
از دیدگاه دیگر، اگر در گام نخست سیستم اتمی را بصورت مرکز جرم و حرکت نسبی سایر مولفه ها در نظر بگیریم، آنگاه پتانسیل برداری بصورت A ⃗(R ⃗ ) و تابعی از موقعیت مکانی مرکز جرم R ⃗ تعریف می شود. با اندکی ساده سازی روابط، در می یابیم که، پتانسیل برداری تغییر قابل
ملاحظه ای نسبت به تغییرات سایز اتم ندارد و به بیان رساتر، الکترون و پروتون پتانسیل برداری یکسانی دارند. با درنظر گرفتن توابع پیمانه ای زیر
(∂x(r ⃗,t))/∂t=-(∂A ⃗(t))/∂t.r ⃗=r ⃗.E ⃗(3-41)
∇ ⃗x(r ⃗,t)=-A ⃗(t)(3-42)
معادله (3-38) به صورت زیر تبدیل می شود
H ̂^’=1/(2m_e ) P ⃗_^2+e r ⃗.E ⃗+V(r)(3-43)
با معرفی d ⃗=-er ⃗ ، به عنوان گشتاور دو قطبی داریم
H ̂^’=1/(2m_e ) P ⃗_^2-d ⃗.E ⃗+V(r)(3-44)
همانطور که ملاحظه می شود با در نظر گرفتن کمیت های جفت شدگی میدان الکتریکی و گشتاور دو قطبی هامیلتونی، شکل آشنای هامیلتونی در حضور جفت شدگی دو قطبی الکتریکی با میدان الکتریکی را می پذیرد. از روابط فوق در می یابیم که در نظر گرفتن هر رهیافت برای اندرکنش، با دیگری معادل است. البته به کمک معادله حرکت هایزنبرگ و اعضای ماتریس اندرکنش نیزمی توان معادل سازی فوق را اثبات کرد .

3-6 اندر کنش سیستم دو ترازی با میدان کلاسیکی
اندر کنش هایی که بین سیستم های دو ترازی و سیستم های کوانتومی و کلاسیکی روی می دهند، از نقطه نظر بررسی ویژگی های آماری میدان های الکترومغناطیسی بسیار ارزشمند هستند. اساسا سیستم دو ترازه فیزیکی، می تواند یک سیستم کوانتومی باشد که بتوانیم ویژه حالت های آن را بر اساس عملگر معینی توصیف نماییم. از دیدگاه ریاضی نیز، این سیستم ها قابلیت توصیف با سیستم اسپین 2/1 را دارند.
در این بخش به بررسی اندرکنش اتم دو ترازی با میدان کلاسیکی می پردازیم که به مدل رابی شهرت دارد، سپس این فرآیند را با میدان کوانتومی بررسی می کنیم که تحت تقریب موج چرخان به مدل جینز-کامینگز می رسیم. در گام نخست، ترازهای معین اتمی را که به عنوان حالت های پایه و