که N ̂=a ̂^+ a ̂ عملگر تعداد میدان است. می توان نشان داد که Π دارای ویژه مقادیر ±1 متناظر با ویژه توابع زیر است
|ψ_± =|e,α±|g,-α(4-4)
که e و g ترازهای برانگیخته و پایه اتمی و α حالت همدوس میدان است. بخاطر اینکه هامیلتونی (4-2) و پاریته (4-3) جابجاپذیرند ویژه توابع (4-4) ویژه توابع هامیلتونی نیز می باشند. با جایگذاری ویژه توابع (4-4) در معادله ویژه مقداری شرودینگر H|ψ_± =E_± |ψ_± داریم
{ωa ̂^+ a ̂+g(a ̂+a ̂^+ )}|α∓ω_o/2|-α =E_± |α
با ضرب دو طرف معادله بالا از سمت چپ داریم
E_±=ω〖|α|〗^2+g(α^*+α)∓ω_o/2 e^(-|α|^2/2)(4-5)
انرژی تراز پایه (GSE)، یعنی رابطه زیر را
E_+=ω〖|α|〗^2+g(α^*+α)-ω_o/2 e^(-|α|^2/2)(4-6)
می توان به صورت تابعی از ثابت کوپلاژ g نوشت، برای انجام این کار مقدار کمینه انرژی را به صورت زیر بدست می آوریم : با مشتق گیری از انرژی تراز پایه نسبت به α و مساوی صفر قرار دادن آن، g به شکل زیر بدست می آید.
(∂E_+)/∂α=o → g=-ω_F α^* (1+ω_o/ω e^(-|α|^2/2)/4)(4-7)
با حل معادله (4-7) برای α نسبت به g و جایگذاری آن در معادله (4-6)، نمودار GSE را نسبت به g برای مقادیر مختلف ω_A/ω_F در شکل (3-3) رسم می کنیم، که ω_A/ω_F در شکل همان ω_o/ωدر معادله های فوق است.یکی از نتایج جالبی که از شکل (4-2) می گیریم، این است که GSE در هر سه مقدار ω_A/ω_F =o.5,1,1.5 رفتار یکسانی دارد. نمودارها فقط در مقدار اولیه GSE با هم متفاوتند بطوریکه برای ω_A/ω_F =o.5، GSE=-o.28 برای ω_A/ω_F =1، GSE=-o.5
و برای ω_A/ω_F =1.5، GSE=-o.76 ، جالبتر این است که منحنی این نمودارها رفتار مشابهی را با منحنی های شکل (4-1) دارد.

شکل (4-2) نمودار انرژیGS نسبت به g برای =ω_A/ω_F
الف5/0 ب) 1 پ)5/1
4-3 تحول زمانی سیستم (اتم-فوتون) بدون تقریب موج چرخان
هامیلتونی جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان (3-72) در تصویر برهمکنش شکل زیر را دارد.
H_I=1/2 ∆σ ̂_Z+g(a ̂+a ̂^+ ) σ ̂_x(4-8)
که 〖∆=ω_A-ω〗_F پارامتر کوک پذیری است. این هامیلتونی در پایه ی اتم دو ترازی به شکل زیر نوشته می شود.
H_I=(■(∆/2&g(a ̂+a ̂^+ )@g(a ̂+a ̂^+ )&-∆/2))(4-9)
با استفاده از رابطه 〖exp⁡(-iH ̂〗_I t)=∑_n▒〖〖(-iH ̂〗_I t)〗^n/n!، عملگر تحول زمانی متناظربصورت زیر بدست می آید.
U ̂(t)=(■(U ̂_11 (t)&U ̂_12 (t)@U ̂_21 (t)&U ̂_22 (t) ))
که عناصر ماتریس فوق را می توان به شکل زیر نوشت
U ̂_11 (t)=cos⁡(χt)-i Δ/2 sin⁡(χt)/χ,U ̂_12 (t)=U ̂_21 (t)=-ig(a^++a) sin⁡(χt)/χ U ̂_22 (t)=cos⁡(χt)+i Δ/2 sin⁡(χt)/χ ,
χ=(Δ^2/4+g^2 (a ̂+a ̂^+ )^2 )^(1/2)
(4-10)
در ادامه یک مدل اپتیک کوانتومی را درنظر می گیریم که در آن یک اتم دو ترازی با میدان تابشی کاواک برهمکنش می کند. اگر اتم در t=o در حالت برانگیخته |e باشد و تابع موج اولیه میدان هم |ψ_F (o) باشد، تابع موج اولیه سیستم (اتم – فوتون) بصورت
|ψ(o) =|e⨂|ψ_F (o) است. سیستم در t=o در حالت خالص است از اینرو ماتریس چگالی سیستم به صورتρ(o)=|eψ_F (o)| است. تابع موج سیستم در to به شکل زیر بدست می آید
|ψ(t) =U ̂_11 (t)|ψ_F (o)⨂|e +U ̂_21 (t)|ψ_F (o)⨂|g
که عملگرهای U ̂_ij (t) در (4-10) داده شده اند. در حالت خاص تشدیدی (Δ=o) داریم:
U ̂_11 (t)=cos⁡(gt(a ̂+a ̂^+ ))=e^(-(gt)^2/2) cos⁡〖(gta ̂^+)〗 cos⁡〖(gta ̂)〗-sin⁡〖(gta ̂^+)〗 sin⁡〖(gta ̂)〗
اگر میدان کاواک در t=o در حالت همدوس باشد،
〖|ψ〗_F (o) =|α→
cos⁡(gta ̂^+ ) |α =e^(-|α|^2/2) ∑_m▒〖(-1)^m/(2m)! (gt)^2m 〗 (a^+ )^2m |α
(a^+ )^m=(Na^(-1) )^m=N(N-1)(N-2)…(N-(m-1)) 〖 a〗^(-m)
=N!/(N-(m-2))! 〖 a〗^(-m)
همچنین با استفاده از روابط زیر
sin⁡(gta ̂^+ ) |α =
e^(-|α|^2/2) ∑_(n,m)▒〖(-1)^m/(2m+1)! n!/(n-(2m-1))! α^n/√n! (gt/α)^(2m+1) |n〗
cos⁡(gta ̂^+ ) |α=
e^(-|α|^2/2) ∑_(n,m)▒〖(-1)^m/(2m)! n!/(n-(2m-2))! α^n/√n! (gt/α)^2m |n〗
تابع موج در to به شکل زیر نوشته می شود
|ψ(t) = ∑_(n,m)▒〖a_(n,m) (t)|e n +b_(n,m) (t) |g n〗
(4-11)
که ضرایب a_(n,m) (t) و b_(n,m) (t) بصورت زیر می باشند
a_(n,m) (t)=e^(-(|α|^2+(gt)^2)/2) (-1)^m/(2m)! (gt/α)^2m n!/(n-(2m-2))! α^n/√n!
×{cos⁡〖(gtα)-sin⁡(gtα) 〗 gt/α(2m+1)(n-(2m-1)) },
b_(n,m) (t)=e^(-(|α|^2+(gt)^2)/2) (-1)^m/(2m)! (gt/α)^2m n!/(n-(2m-2))! α^n/√n!
×{sin⁡〖(gtα)-cos⁡(gtα) 〗 gt/α(2m+1)(n-(2m-1)) }.
(4-12)
از روابط این بخش در بخش بعد برای اندازه گیری درهم تنیدگی استفاده خواهد شد.

4-4 در هم تنیدگی اتم – فوتون
در این بخش سعی بر آن است که درهم تنیدگی اتم-فوتون را برای میدان همدوس در مدل
جینز-کامینگز با تقریب موج چرخان و بدون این تقریب، اندازه گیری کنیم. بدین منظور از آنتروپی فون-نویمان برای اندازه گیری درهم تنیدگی استفاده می کنیم.تمام اطلاعات سیستم در ماتریس چگالی آن نهفته است که بصورتρ(t)=|ψ(t)ψ(t)| می باشد، از طرف دیگر ماتریس چگالی کاهش یافته اتمیρ_A (t) برای تابع موج (4-11) و (3-92) به شکل زیر داده می شود.
ρ_A (t)=〖Tr〗_F ρ(t)=ρ_ee (t)|eo افزایش می یابد شکل (4-4 ب)، درحالیکه طبق مدل بدون موج چرخان در to درهم تنیدگی ثابت است شکل(4-3 ب). در g=1 نمودارهای دو مدل کاملا از هم متفاوت می شوند، در شکل (4-4 ب) در زمانهای t=o,15,31,47 آنتروپی مقدار o.5 را دارد ونوسانهای بیشتری را در این زمانها نشان می دهد اما در شکل (4-3 ب) آنتروپی نوسان کمتری را دارد و در بازه های زمانی مذکور مقدار ثابت o.5 را دارد. از مقایسه ای که از این نمودارها داشتیم می توان نتیجه گرفت که در مقادیر کم ضریب کوپلاژ g می توان از تقریب موج چرخان استفاده کرد، اما با افزایش ضریب کوپلاژ دیگر نمی توان از تقریب مذکور استفاده کرد.
شکل های (4-5) وارونی جمعیت ترازهای اتمی(W=ρ_ee (t)-ρ_gg (t)) را برای مدل بدون تقریب موج چرخان و شکل های (4-6) نیز وارونی جمعیت را برای مدل با تقریب موج چرخان نشان می دهند. از مقایسه این نمودارها نیز همان نتیجه ای را که از قیاس قبلی گرفتیم می گیریم. در شکل (4-8) وارونی جمعیت ترازهای اتمی را برای دو مدل با تقریب موج چرخان و بدون این تقریب، در (g=o.o1) مقایسه کرده ایم. همانطور که می بینیم در مقادیر پایین ضریب کوپلاژ، دو مدل رفتار تقریبا یکسانی را دارند.
بطور کلی، مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان در بازه های زمانی کوتاه نتایج مشابهی را با مدل با تقریب موج چرخان نشان می دهد. اما برای زمانهای بزرگتر، رفتارهای این دو مدل به تدریج از هم متفاوت می شوند. این واقعیت به این دلیل است که توابع آنتروپی و وارونی جمعیت (همانطور که از رابطه هایشان هم پیداست) به حاصلضرب gt وابسته اند، بطوریکه برای مقادیر پایین g و t این حاصلضرب کوچک است و دو مدل نتایج یکسانی را نشان می دهند. اما در زمان های بزرگتر، این حاصلضرب بزرگ می شود و رفتار دو مدل کاملا متفاوت می شود.

شکل (4-3) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)1

شکل (4-4) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز با RWA با
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)1

شکل (4-5) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)1

شکل (4-6) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز باRWA با
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)1

شکل (4-7) مقایسه آنتروپی فون نیومن برای مدل با R W A —- و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/0

شکل (4-8) مقایسه وارونی جمعیت ترازهای اتمی برای مدل با R W A — و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/0
4-5 درهم تنیدگی زوج کوبیت
همانطور که در بخش قبل گفته شد تمام اطلاعات سیستم در ماتریس چگالی آن نهفته است که به شکل ρ(t)=|ψ(t)ψ(t)| می باشد. در این بخش قصد داریم که درهم تنیدگی زوج کوبیت را که تحول زمانی آن را در فصل قبل بررسی کردیم، اندازه گیری کنیم. با استفاده از تابع موج (3-108) و ضرایب (3-109) تا (3-113) ماتریس چگالی را برای تابع موج (3-108) با ضرایب مذکور بدست می آوریم و درهم تنیدگی زوج کوبیت را با معیارهای تلاقی، منفی بودن و اطلاعات فیشر که در فصل 2 معرفی شدند، اندازه گیری می کنیم. از آنجایی که هدف اندازه گیری درهم تنیدگی اتمی زوج کوبیت است، روی مؤلفه های میدان ماتریس چگالی ردگیری می کنیم، تا ماتریس چگالی اتمی بدست آید.
معیار تلاقی (2-19) برای تابع موج (3-108) به رابطه ی زیر تبدیل می شود
C=max⁡(o,∑_(n,m)▒〖|a_(n,m) (t)|^2 |d_(n,m) (t)|^2-〖b^*〗_(n,m) (t) 〖c^*〗_(n,m) (t) a_(n,m) (t) 〖 d〗_(n,m) (t)-〖d^*〗_(n,m) (t) 〖a^*〗_(n,m) (t) b_(n,m) (t) 〖 c〗_(n,m) (t)+|b_(n,m) (t)|^2 |c_(n,m) (t)|^2 〗)
(4-19)
که ضرایب a_(n,m) (t) ، b_(n,m) (t) ، c_(n,m) (t) و d_(n,m) (t) در روابط (3-109) تا (3-113) داده
شده اند. بخاطر اینکه در معادله (4-19) جملات کسینوسی و سینوسی وجود دارند، مشاهده رفتار نوسانی تقویتی انتظار می رود. شکل (4-9) تحول زمانی تلاقی را برای شش تابع موج اولیه سیستم زوج کوبیت (3-102) تا (3-107) نشان می دهد. همانطور که نمایان است تمام نمودارها، رخدادهای تکراری از واهمدوسی را نشان می دهند. هر دو نمودار شکل (4-9 الف) کاملا شبیه هم اند. این به این معناست که طبق اندازه گیری معیار تلاقی، توابع موج اولیه (3-102) و (3-103) درهم تنیدگی یکسانی را خلق می کنند. البته این پدیده فقط برای θ=π/4 صادق است، بطوریکه برای دیگر زوایای θ این شباهت مشاهده نمی شود. شکل (4-10) این موضوع را نشان
می دهد. هر دو نمودار شکل (4-10 الف و ب)کاملا شبیه هم نیستند بلکه تابع موج (3-102)
درهم تنیدگی نسبتا بیشتری را در مقایسه با تابع موج (3-103) خلق کرده است.
با دقت در شکلهای (4-9 الف ) و (4-9 ب) می بینیم که شکل (4-9 ب) تعداد نوسانهای بیشتری را دارد. این بدین معناست که با تغییر میدان برهمکنشی از حالت همدوس به حالت گربه ای، درهم تنیدگی کوبیت تغییر قابل توجهی می کند، بطوریکه در شکل (4-9 ب) مرگ درهم تنیدگی با سرعت کمتری نسبت به وقتی که میدان برهم کنشی همدوس است، رخ
می دهد. در شکل های (4-9 ب) و (4-9 ت) طول های بازه زمانی که درهم تنیدگی صفر است یا بعبارت دیگر سیستم جداپذیر است، در مقایسه با شکلهای (4-9 الف) با گذشت زمان کاهش می یابد تا اینکه در نهایت این طول صفر می شود. به عبارت دیگر به محض افت ، درهم تنیدگی رشد می کند. از طرف دیگر در شکل های (4-9 پ) درهم تنیدگی در 5 زمان بیشینه می شود t=o,21,42,64,86s . در حالیکه در دیگر نمودارها بیشینگی درهم تنیدگی در چهار زمان رخ می دهد. بر اساس معیار تلاقی اگر میدان برهم کنشی در حالت همدوس باشد مرگ درهم تنیدگی سریعتر رخ می دهد، نسبت به زمانیکه میدان در حالت گربه ای یا حالت همدوس فشرده باشد، که البته این بخاطر طبیعت شبه کلاسیک حالت همدوس است.
منفی بودن-
می توان نشان داد که رابطه منفی بودن (2-21-ب) برای تابع موج (3-108) به رابطه زیر تبدیل می شود
N=∑_(n,m)▒〖a_(n,m) (t) 〖 d〗_(n,m) (t)+ b_(n,m) (t) 〖 c〗_(n,m) (t) 〗
(4-20)
معادله (4-20) شامل جملات سینوسی و کسینوسی است، بنابراین انتظار می رود که منفی بودن رفتار نوسانی را نشان دهد. شکل (4-11) نمودار منفی بودن را نسبت به زمان نشان می دهد. همانطور که نمایان است، بر اساس معیار منفی بودن ، با تغییر میدان برهمکنشی از همدوس به گربه ای، در هم تنیدگی سیستم بیشتر می شود بطوریکه وقتی میدان برهم کنشی همدوس فشرده است، مرگ درهم تنیدگی با سرعت کمتری نسبت به موارد دیگر رخ می دهد. آنچه از مقایسه شکل (4-11) و (4-12) برداشت می شود این است که منفی بودن معیار قویتری نسبت به معیار تلاقی است، بخاطر اینکه قادر است در نقاطی که معیار تلاقیقادر نیست درهم تنیدگی را آشکارسازی کند.
اطلاعات فیشر-
با انتخاب پارامترهای یکسان برای حالت های همدوس اتمی در زوج کوبیت شکل (3-6)، حالت همدوس اتمی زوج کوبیت به شکل زیر نوشته می شود.
|θ,φ =cos^2⁡〖θ/2〗 |ee +1/2 sin⁡θ |eg+1/2 sin⁡θ |ge +sin^2⁡〖θ/2〗
با استفاده از این رابطه می توانیم تابع Q را برای تابع موج (3-108) در to به شکل زیر بدست آوریم
Q(t)=∑_(n,m)▒〖(cos^4⁡(θ/2) |a_(n,m) (t)|^2+1/2 sin⁡θ {cos^2⁡(θ/2) (a_(n,m) (t) 〖b^*〗_(n,m) (t)+b_(n,m) (t) 〖a^*〗_(n,m) (t) a_(n,m) (t) 〖c^*〗_(n,m) (t)+c_(n,m) (t) 〖a^*〗_(n,m) (t))+sin^2⁡〖θ/2〗 (d_(n,m) (t) 〖c^*〗_(n,m) (t)+c_(n,m) (t) 〖d^*〗_(n,m) (t))+1/2 (a_(n,m) (t) 〖d^*〗_(n,m) (t)+d_(n,m) (t) 〖a^*〗_(n,m) (t))} 〗+1/4 sin^2⁡θ [|b_(n,m) (t)+c_(n,m) (t)|^2 ]+sin^4⁡〖θ/2〗 [|d_(n,m)