e^(-|α|^2/2) α^n/√n! √n/α sin⁡〖gt√n〗(3-95)
که x_n=1+〖(-1)〗^nو y_n=1-〖(-1)〗^n
و همینطور برای حالت اولیه |ψ(o) =|g,C داریم
a_n (t)=-i N_(e ) y_(n ) α/√(n+1) e^(-|α|^2/2) α^n/√n! sin⁡〖gt√(n+1)〗
b_n (t)=N_(e ) x_(n ) e^(-|α|^2/2) α^n/√n! cos⁡〖gt√n〗(3-96)
یکی دیگر از حالات کوانتومی، میدان حالت فشرده همدوس|s است. اگر تابع موج سیستم در t=o بصورت |ψ(o) =|e,s باشد، آنگاه داریم
a_n (t)=L^n/√n! 〖 q e^(-β(n^2 ) ) cos〗⁡(gt√(n+1))
b_n (t)=-i L^n/√n! 〖 p e^(-β(n^’ ) ) √n sin〗⁡(gt√n)(3-97)
همچنین برای تابع موج اولیه |ψ(o) =|g,s نیز داریم
a_n (t)=L^n/√n! 〖 (p^’ e^(-β(n^’ ) ))/√(n+1) sin〗⁡(gt√(n+1))
b_n (t)=-i L^n/√n! 〖 q e^(-β(n^2 ) ) cos〗⁡(gt√n)(3-98)
که
q=〖cosh⁡(λ/2)〗^(-4)⁡exp⁡〖( 〖tanh(〗⁡〖λ/2 )〗 〗 α^2-|α|^2/2 ),
p=〖cosh⁡(λ/2)〗^(-4)/α exp⁡{α^2 〖tanh(〗⁡〖λ/2 )〗-|α|^2/2-8 ln⁡cosh⁡(λ/2) +β)},
〖 p〗^’=α^2 p , L=α e^(- 8 ln⁡cosh⁡(λ/2) +β), β=〖tanh(〗⁡〖λ/2 )〗/(α^2 〖cosh⁡(λ/2)〗^(-8) ), n^’=n^2+2n+1

3-9 تحول زمانی سیستم زوج کوبیت
در اینجا یک سیستم شامل دو اتم دو ترازی را در نظر می گیریم، هر اتم در حال برهمکنش با مد کاواک خود است، هامیلتونی توصیف کننده این سیستم، (هامیلتونی جینز-کامینگز دوگانه) بصورت زیر است.
H_tot=ωσ_z^A+ωσ_z^B+g(a^+ σ_-^A+aσ_+^A )+g(b^+ σ_-^B+bσ_+^B )
+υa^+ a+υb^+ b (3-99)
که ω فرکانس اتمی، υ فرکانس میدان، g ثابت کوپلاژ اتم- میدان، a^+ (b^+) و a(b) عملگرهای خلق و فنای کاواک a و b اند و σ_±^ عملگرهای اسپینی پائولی می باشند. طرحواره این سیستم در شکل (3-6) نشان داده شده است. همانطور که نمایان است هیچ برهمکنشی بین دو کاواک وجود ندارد بطوریکه دو کاواک از یکدیگر کاملا ایزوله هستند. لازم به ذکر است که در این رساله، علاقمند به اندازه گیری درهم تنیدگی اتم – اتم هستیم به همین دلیل ابتدا باید درهم تنیدگی بین دو اتم کاواک ایجاد شود و سپس از هم دور شوند به این گونه که هر دو اتم با یک نوع فوتون روشن می شوند یعنی فرکانس فوتونهای برهم کنشی هر دو کاواک باید دقیقا با هم یکسان باشند در غیر این صورت درهم تنیدگی اتم – اتم ایجاد نمی شود.

شکل (3-6) طرحواره ای از سیستم زوج کوبیت

در ادامه فرض می شود که اتم با مد کاواک در حالت تشدید است (ω=υ). برای تابع موج اتمی در t=o دو حالت مختلف از ترکیب پایه های بل را بصورت زیر در نظر می گیریم
|Ψ_atom (o) =cos⁡〖θ |eg +sin⁡〖θ |ge〗 〗(3-100)
|Ψ_atom (o) =cos⁡〖θ |ee +sin⁡〖θ |gg〗 〗(3-101)
و برای میدان هم سه حالت مختلف را در t=o در نظر می گیریم، حالت همدوس، حالت گربه ای و حالت فشرده همدوس. از اینرو تابع موج سیستم زوج کیوبیت در t=o شش حالت مختلف را بصورت زیر دارد
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |eg αα +sin⁡〖θ |ge αα〗 〗(3-102)
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |ee αα +sin⁡〖θ |gg αα〗 〗(3-103)
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |eg CC +sin⁡〖θ |ge CC〗 〗(3-104)
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |ee CC +sin⁡〖θ |gg CC〗 〗(3-105)
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |eg ss +sin⁡〖θ |ge ss〗 〗(3-106)
|Ψ(o) =cos⁡〖θ |ee ss +sin⁡〖θ |gg ss〗 〗(3-107)
با استفاده از روابط بخش (3-8) می توان نشان داد که تابع موج سیستم در to تحت هامیلتونی (3-99) بصورت زیر نوشته می شود
|ψ(t) =∑_(n,m)▒〖〖{a〗_(n,m) (t)|ee n,m+b_(n,m) (t) |eg n,m〗
+c_(n,m) (t)|ge n,m +d_(n,m) (t)|gg n,m}
(3-108)
که ضرایبa_(n,m) (t)، b_(n,m) (t) ، c_(n,m) (t) و d_(n,m) (t) برای تابع موج اولیه سیستم (3-102) به شکل زیر بدست می آید.
a_(n,m) (t)= -ie^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖α/√(m+1) cosθ cos〗⁡(gt√(n+1)) sin⁡(gt√(m+1))+ α/√(n+1) 〖 sin〗⁡θ sin⁡(gt√(n+1))cos(gt√(m+1))},
b_(n,m) (t)=e^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖 cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) cos⁡(gt√m)- √m/√(n+1) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))sin(gt√m)},
c_(n,m) (t)=e^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖 sin θ cos〗⁡(gt√n) cos⁡(gt√(m+1))- √n/√(m+1) cos⁡θ sin⁡(gt√(m+1))sin(gt√n)},
d_(n,m) (t)=-ie^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖√n/α cos θ cos〗⁡(gt√m) sin⁡(gt√n)- √m/α sin⁡θ sin⁡(gt√m)cos(gt√n)}(3-109)
همچنین برای تابع موج (3-103) ضرایب به شکل زیر معرفی می شوند
a_(n,m) (t)=e^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖 cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) cos⁡(gt√(m+1))- α^2/(√(n+1) √(m+1)) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))sin(gt√(m+1))} ,
b_(n,m) (t)=-ie^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖√m/α cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) sin⁡(gt√m)+ α/√(n+1) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))cos(gt√m)} ,
c_(n,m) (t)=-ie^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖√n/α cos θ sin〗⁡(gt√n) cos⁡(gt√(m+1))+ α/√(m+1) sin⁡θ sin⁡(gt√(m+1))cos(gt√n)},
d_(n,m) (t)=e^(〖-|α|〗^2 ) α^(n+m)/√n!m! {〖 -√nm/α^2 cos θ sin〗⁡(gt√m) sin⁡(gt√n)+ sin⁡θ cos⁡(gt√m)cos(gt√n)}(3-110)
در ادامه، برای تابع موج (3-104) داریم
a_(n,m) (t)= -ie^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖α/√(m+1) cosθ cos〗⁡(gt√(n+1)) sin⁡(gt√(m+1)) x_n y_m+ x_m y_n α/√(n+1) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))cos(gt√(m+1))},
b_(n,m) (t)= e^(〖-|α|〗^2 ) 〖〖 N〗_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖 cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) cos⁡(gt√m) x_n x_m- √m/√(n+1) 〖y_n y_m sin〗⁡θ sin⁡(gt√(n+1))sin(gt√m)} ,
c_(n,m) (t)=e^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖x_n x_m sin θ cos〗⁡(gt√n) cos⁡(gt√(m+1))- y_n y_m √n/√(m+1) cos⁡θ sin⁡(gt√(m+1))sin(gt√n)},
d_(n,m) (t)=-ie^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖 (y_n x_m √n/α cos⁡θ cos〗⁡(gt√m) sin⁡(gt√n) +x_n y_m √m/α sin⁡θ sin⁡(gt√m)cos(gt√n)}(3-111)

که x_(n(m))=1+〖(-1)〗^(n(m)),y_(n(m))=1-〖(-1)〗^(n(m)) همچنین برای تابع موج
(3-105) نیز می توانیم ضرایب را به صورت زیر بدست آوریم
a_(n,m) (t)= e^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖 cosθ cos〗⁡(gt√(n+1)) cos⁡(gt√(m+1)) x_n x_m- y_m y_n α^2/√((n+1)(m+1)) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))sin(gt√(m+1))},
b_(n,m) (t)= -ie^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖√m/α cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) sin⁡(gt√m) x_n y_m+ α/√(n+1) 〖y_n x_m sin〗⁡θ sin⁡(gt√(n+1))cos(gt√m)} ,
c_(n,m) (t)= -ie^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖α/√(m+1) y_m x_n sin θ cos〗⁡(gt√n) sin⁡(gt√(m+1))+ y_n x_m √n/α cos⁡θ cos⁡(gt√(m+1))sin(gt√n)} ,
d_(n,m) (t)= e^(〖-|α|〗^2 ) 〖N_(e )〗^2 α^(n+m)/√n!m! {〖〖-y〗_n y_m √nm/α^2 cos θ sin〗⁡(gt√m) sin⁡(gt√n) + x_n x_m sin⁡θ 〖 cos〗⁡(gt√m)cos(gt√n)}(3-112)
به عنوان آخرین محاسبه، ضرایب برای تابع موج اولیه (3-106) به شکل زیر بدست می آیند.
a_(n,m) (t)=-i q p^’ 〖 L^(n+m)/√n!m! {1/√(m+1) e^(-β(n^2+m^’)) cosθ cos〗⁡(gt√(n+1)) sin⁡(gt√(m+1))+ 1/√(n+1) e^(-β(n^’+m^2)) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))cos(gt√(m+1))} ,
b_(n,m) (t)=L^(n+m)/√n!m! 〖 { q^2 e^(-β(n^2+m^2 ) ) cos θ cos〗⁡(gt√(n+1)) cos⁡(gt√m)- p p^’ e^( -β(n^’+m^’)) √m/√(n+1) sin⁡θ sin⁡(gt√(n+1))sin(gt√m)} ,
c_(n,m) (t) =L^(n+m)/√n!m! 〖 {q^2 e^(-β(n^2+m^2 ) ) sin θ cos〗⁡(gt√n) cos⁡(gt√(m+1)) -p p^’ e^(-β(n^’+m^’)) √n/√(m+1) cos⁡θ sin⁡(gt√(m+1))sin(gt√n)}
d_(n,m) (t)=-i〖 p q e〗^(〖-|α|〗^2 ) L^(n+m)/√n!m! 〖 { e^(-β(n^’+m^2)) √n cos θ cos〗⁡(gt√m) sin⁡(gt√n) + e^(-β(n^2+m^’)) √m sin⁡θ sin⁡(gt√m)cos(gt√n)}
(3-113)
از روابط بدست آمده در این بخش برای محاسبه میزان درهم تنیدگی زوج کوبیت در فصل چهارم استفاده خواهیم کرد.

فصل چهارم
مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان و اندازه گیری
درهم تنیدگی

4-1 مقدمه

در اپتیک کوانتومی، زمانی که کوپلاژ اتم با میدان ضعیف است، تقریب موج چرخان بسیار مفید است؛ اما در الکترودینامیک کوانتومی که اتم ها با مدارهای تشدیدی به طور قوی برهم کنش
می کنند، RWA قادر به توصیف کوپلاژ قوی نیست، از اینرو مدل جینز- کامینگز بدون RWA اخیرا مورد توجه قرار گرفته است. برای مدل مذکور بدون استفاده از RWA راه حل های زیادی از قبیل مدل دیک ، اثر زنو و و حالتهای همدوس بوزونی، پیشنهاد شدهکه در اکثر آنها یا از روشهای عددی استفاده شده و یا از بعضی از تقریب های ریاضی کمک گرفته شده است. در این فصل یک روش مستقیم برای حل مدل جینز- کامینگز بدون RWA پیشنهاد می شود. سپس عملگر یکانی تحول زمانی تحت هامیلتونی جینز- کامینگز بدون RWA بدست آورده و با استفاده از آن، تابع موج سیستم اتم-فوتون در to محاسبه می شود. از آنجایی که تحول زمانی آنتروپی اتمی (میدان) میزان درهم تنیدگی اتم –فوتون را اندازه گیری می کند، در بخش (4-4) با استفاده از آنتروپی فون- نویمان میزان درهم تنیدگی اتم – فوتون اندازه گیری می شود که این کار برای هر دو مدل با و بدون RWA انجام خواهد شد. از آنجایی که سیستم کوانتومی با محیط برهمکنش می کند، انتظار داریم که درهم تنیدگی بعد از مدتی افت کند. نشان داده شده است که درهم تنیدگی پس از گذشت زمان محدودی صفر می شود، این پدیده مرگ ناگهانی درهم تنیدگی نام دارد. در زمینه ESD مطالعات زیادی انجام شده است. کوین و ابرلی نشان دادند که قوانین حاکم بر ESD به سه پارامتر وابسته اند، میزان خلوص اولیه سیستم، درهم تنیدگی و برانگیختگی. یوناک و ابرلیاز یک تقریب برای افزایش درهم تنیدگی استفاده کردند. هانگ نشان داد که ثابت های هندسی اطلاعات مفیدی را در مورد انواع مختلف درهم تنیدگی فراهم می کنند. در بخش (4-5) به بررسی پدیده ESD برای سیستم زوج کوبیت می پردازیم، بطوریکه میدان برهم کنشی را سه نوع مختلف همدوس، گربه ای و همدوس فشرده در نظر می گیریم و هر بار درهم تنیدگی سیستم زوج کوبیت با سه معیار مختلف تلاقی، منفی بودن و اطلاعات فیشر اندازه گیری می شود.

4-2 مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان
تا کنون روشهای مختلفی برای حل مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان ارائه شده است که در مرجع نتایج سه روش از آنها، با هم مقایسه شده است. این سه راه حل عبارتند از تقریب مرتبه اول (FOD)، تقریب موج چرخان تعمیم یافته (GRWA) و قطری سازی دقیق عددی (ED) در حالتهای بوزونی. هر کدام از این روش ها، عبارتی را برای انرژی تراز پایه (GS) اتمی بدست می دهند که در شکل (4-1) نمودار انرژی (GS) حاصل از هر روش، بر حسب ثابت کوپلاژ( g ) رسم شده است. در این شکل، ωو ∆به ترتیب فرکانس های اتم و میدان می باشند. آنچه از این شکل بر می آید این است که انرژی های GS حاصل از دو روش FOD و ED، خیلی بهم نزدیک هستند، بطوریکه برای g≤o.5، اختلافشان کمتر از1o-3 است.واقعیت این است که در راه حلهایی که تاکنون برای مدل جینز-کامینگز بدون تقریب RWA ارائه شده اند یا از روشهای عددی استفاده شده و یا از بعضی از تقریب ها کمک گرفته شده است؛ در این بخش مدل مذکور را بدون استفاده از تقریب RWA و از یک روش مستقیم حل می کنیم.هامیلتونی جینز–کامینگز بدون استفاده از تقریب موج چرخان، رابطه (3-72)، را می توان به شکل زیر نوشت (ℏ=1)
H ̂=ω_o/2 σ ̂_z+ωa ̂^+ a ̂+g(a ̂+a ̂^+ ) σ ̂_x(4-1)
این هامیلتونی با یک چرخش 9o’ حول محور y، به صورت زیر تغییر می کند .
H ̂=-ω_o/2 σ ̂_x+ωa ̂^+ a ̂+g(a ̂+a ̂^+ ) σ ̂_z(4-2)

شکل (4-1) مقایسه انرژی های GSحاصل از FOD (دایره های توپر)، GRWA (منحنی خط) و ED
(دایره های توخالی) بر حسب g

پاریته ی پایسته ای که با این هامیلتونی جابجا می شود [H,Π]=o، به شکل زیر است
Π=σ ̂_x exp⁡(iπN ̂)(4-3)
که N ̂=a ̂^+