∑_((b ,) ́b^”)▒〖ω_iΨ_(i ) | (b) ́ 〗(b |) ́A|〗 b^”
و با کمی جابجایی داریم:
(1-38) [A]=∑_(b ́,b^”)▒〖∑▒〖ω_i〗 Ψ_i |b ́
حال با تعریف ماتریس چگالی بصورت زیر رابطه بالا را ساده تر می¬کنیم:
(1-39) ρ=∑_i▒〖ω_i |Ψ_i〗Ψ_i |
در نتیجه:
(1-40) [A]=∑_(b ́,b^”)▒〖=∑_(b^”)▒ b^” |ρA| b^”=Tr(ρA)
عملگر Tr(M) ، رد ما تریس M است و بصورت TrM ̂= ∑_n▒M_nn تعریف می¬شود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با استفاده از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.
برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر می¬باشد:
(1-41) ρ=|Ψ_iΨ_i |
و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(1-42) ρ=∑_i▒〖ω_i | Ψ_iΨ_i |〗
حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمانهای مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.
از رابطه ماتریس چگالی نسبت به زمان مشتق می گیریم و در iℏ ضرب می کنیم.
(1-43) iℏ ∂ρ/∂t=iℏ ∑_i▒〖ω_i [(∂/∂t│Ψ_i (r,t))Ψ_i (r,t)┤|+ |Ψ_i (r,t)(∂/∂tΨ_i (r,t)┤|)] 〗
با یادآوری معادله شرودینگر، رابطه بالا ساده تر نیز خواهد شد:
(1-44-الف) iℏ ∂ρ/∂t=∑_i▒〖ω_i (H |Ψ_i (r,t)Ψ_i (r,t)|-|Ψ_i (r,t〗)Ψ_i (r,t)|H )
(1-44- ب) iℏ ∂ρ/∂t=Hρ- ρH
(1-44- پ) ∂ρ/∂t=1/iℏ [H ,ρ] , ρ ̇_mn=1/iℏ 〖[H ,ρ]〗_mn
این معادله برای زمانی است که اتمها در حالت همدوس باشند اما در حضور اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی و یا برهمکنش ناشی از برخورد اتمها این اثرات بصورت پدیدارشناختی به معادله بالا اضافه می شوند که به معادله لیوویل معروف است. پدیدارشناختی یعنی با شناخت سیستم ومتناسب با اثرات ناهمدوسی جملاتی ازمعادله بالا کم یا زیاد می شود.

روشهای مختلفی وجود دارد که جملات ناهمدوسی را به معادله بالا اضافه کنیم اما در بیشتر مواقع فرآیندهای واپاشی بصورت زیر به معادله بالا اضافه می¬شود. برای عناصر غیر قطری ماتریس چگالی جملات پدیدار شناختی بصورت زیر است:
(1-45) ρ ̇_mn=1/iℏ 〖[H,ρ]〗_mn-γ_(mn ) ρ_mn
جمله دوم بصورت پدیدار شناختی اضافه شده و بیانگر اینست که آهنگ گذار ρ ̇_mn با ضریب γ_mn که آهنگ واپاشی از تراز m به تراز n است، کاهش می یابد. فرض کرده ایم که γ_mn=γ_nm . و برای عناصر قطری ماتریس چگالی معادلات حرکت ماتریس چگالی یا همان تحول زمانی ماتریس چگالی با این فرض که واپاشی جمعیت از ترازهای بالا به ترازهای پایین مجاز است، بصورت زیر است:
(1-46) ρ ̇_nn=1/iℏ 〖[H ̂,ρ ̂]〗_nn+∑_(E_mE_n)▒Γ_nm Γ_mm-∑_(E_m و تراز برانگیخته |b در نظر می گیریم، ترازهای انرژی در شکل (3-1) نشان داده شده است.

شکل(3-1): طرحی از سطوح انرژی اتم دو ترازی. هر دو میدان کنترلی و کاوشگر در گذار از |a به |b اعمال می¬شوند.

در چنین سیستمی تابع موج در غیاب فرآیندهای اندرکنشی بصورت زیر می باشد:
(3-1) Ψ_((r,t))=C_a (t) u_a (r) e^(-iE_a t⁄ℏ)+ C_b (t) u_b (r) e^(-iE_b t⁄ℏ)
کهC_a (t) و C_b (t) دامنه احتمال ترازهای a وb هستند و u_a (r) و u_b (r) توابع فضایی حالتهای a و b می باشند و E_a و E_b ترازهای انرژی می باشند.
این سیستم را در اندرکنش با یک میدان کنترلی (پمپ ) با فرکانس ω_c ( فرکانس جفت کننده تراز های |b ,|a ) و یک میدان کاوشگر(پروب ) با فرکانس ω_p برای گذار |a →|b در نظر می گیریم.
هامیلتونی اندرکنش در تقریب دوقطبی الکتریکی، بصورت زیر می باشد:
(3-2) V ̂=-μ ⃗ .E ⃗_((t))
کهE ⃗_((t)) میدان کل شامل دو میدان کنترلی و کاوشگر می باشد و μ ⃗ عملگر گشتاور دو قطبی الکتریکی است و بصورت μ ⃗=er ⃗ تعریف می شوند. عناصر ماتریسی هامیلتونی اندرکنش بصورت زیر تعریف می شود:
(3-3) V_ba=-μ_ba .E ⃗_((t))
μ ⃗_baها عناصر ماتریسی گشتاور دو قطبی الکتریکی هستند که چهار عضو دارد و بصورت زیر محاسبه می شوند:
(3-4) μ_ba== ∫▒〖u_b^* (r) er ⃗u_a (r) d^3 r〗
اگر توابع موج اتمی دارای پاریته مشخص باشند، برای حالت μ_ii حاصل انتگرال صفر می شود چون تابع r ⃗ یک تابع با پاریته فرد می باشد وهمچنین پایته u_i (r) چه فرد باشد وچه زوج، برایu_i^* (r) u_i (r) پاریته زوج می باشد، در نتیجه داخل انتگرال در مجموع یک تابع فرد است، و با توجه به اینکه انتگرال روی تمام فضاست، پس حاصل انتگرال صفر می شود، یعنی μ ⃗_aa=μ ⃗_bb=0 همچنین می توان از معادله (3-3) به این نتیجه رسید که V_ba=V_ba^* می باشد.
میدانهای کنترلی وکاوشگر را بصورت زیر نشان می دهیم:
(3-5- الف) E_p (t)= E_p e^(-iω_p t)+E_p^* e^(iω_p t)
(3-5- ب) E_c (t)=E_c e^(-iω_c t)+E_c^* e^(iω_c t)

در نتیجه با جمع این دو میدان و جایگذاری آن در معادله هامیلتونی اندرکنش ( 3-2 ) خواهیم داشت:
(3-6) V_ba=-μ_ba [(E_c e^(-iω_c t)+E_c^* e^(iω_c t) )+(E_p e^(-iω_p t)+E_p^* e^(iω_p t) )]
قسمتهای مزدوج مختلط را جدا می کنیم تا عبارت ساده تری داشته باشیم:
(3-7- الف) V_ba=-μ_ba (E_c e^(-iω_c t)+ E_p e^(-iω_p t) )+h .c.
(3-7- ب) V_ba=-μ_ba (E_c+E_p e^(-iδt) ) e^(-iω_c t)+h .c .
که در آن δ نامیزانی میدانهای کنترلی و کاوشگر می باشد و بصورت δ=ω_p-ω_c تعریف می شود، خواهیم دید که δ در بوجود آمدن رفتار دوپایای نقش کلیدی خواهد داشت.
برای بررسی معادلات حرکت ماتریس چگالی لازم است، ماتریس هامیلتونی کل را که شامل دو قسمت اندرکنشی و غیر اندرکنشی است داشته باشیم، یعنی:
(3-8) H ̂=H ̂_0+V ̂_((t))=(■(E_a&0@0&E_b ))+ (■(0&V_ab@V_ba&0))= (■(E_a&V_ab@V_ba&E_b ))
همچنین برای سیستم دو ترازی ماتریس چگالی را یک ماتریس 2×2 در نظر می گیریم:
(3-9) ρ ̂=(■(ρ_aa&ρ_ab@ρ_ba&ρ_bb ))
که ρ_aa و ρ_bb با توجه به تعریف ماتریس چگالی، جمعیت ترازهای b و a هستند و ρ_ab و ρ_ba احتمال گذار بین دو تراز را نشان می دهند.
عناصر ماتریس چگالی را می توان از معادلات حرکت ماتریس چگالی بدست آورد:
(3-10) ρ ̇_nm=-iω_nm-i/ℏ 〖 [V ,ρ ]〗_nm
عبارت جابجایی را باز می¬کنیم و با ضرب ماتریسی V و ρ می توان معادلات حرکت ماتریس چگالی در غیاب فرآیندهای واهلشی را می توان از رابطه زیر به دست آورد
(3-11) ρ ̇_nm=-iω_nm-i/ℏ ∑_ν▒( V_nν ρ_νm-ρ_nν V_νm)
که ω_nm بسامد گذار بین ترازها می باشد. برای اتمهای دو ترازی، اندیسهای ν و m ،n فقط می توانند یکی از دو مقدار b و a را داشته باشند در نتیجه داریم:
(3-12- الف) ρ ̇_aa-i/ℏ(V_ab ρ_ba-ρ_ab V_ba)
(3-12- ب) ρ ̇_bb-i/ℏ (V_ba ρ_ab-ρ_ba V_ab )

(3-12- پ) ρ ̇_ba=-iω_(ba ) ρ_ba+i/ℏ v_ba (V_bb-ρ_aa)

به وضوح دیده می شود کهρ ̇_aa+ρ ̇_bb=0، و نشان دهنده آن است که جمعیت کل ترازها یعنی ρ_aa+ρ_bb، کمیتی پایستار می باشد و نسبت به زمان تغییر نمی کند. با توجه به تعریف ماتریس چگالی، میدانیم عناصر قطری احتمال حضور اتم در هر تراز را نشان می دهد، پس با توجه به اینکه یا در تراز a است یا در تراز b ، مجموع احتمالات حضور اتم در ترازهای a و b برابر یک می شود:
(3-13) ρ_aa+ρ_bb=1
همچنین می دانیم که ρ_ab=ρ_ba^* ، بنابراین می توان ρ ̇_ab را با استفاده از ρ ̇_ba بدست آورد.
برای جملات مربوط به فرآیندهای واهلش، فرض می کنیم سیستم اتمی دو ترازی در نظر گرفته شده، یک سیستم بسته باشد، یعنی تراز b با آهنگ Γ_ba به تراز a واپاشی می کند. پس طول عمر آن با T_1=1⁄Γ_ba ، نشان داده خواهد شد. معمولاً واپاشی تراز بالاتر به ترازهای پایین از طریق نشر خودبخودی می باشد.
همچنین اگر گشتاور دوقطبی با زمان T_s وافازی کند، پهنای خط گذار دارای پهنای γ_ba=1/T_s خواهد بود.
در حضور فرآیندهای واهلش، معادلات حرکت ماتریس چگالی بصورت زیر می باشد:
(3-14- الف) ρ ̇_ba=-(iω_ba+γ_2 )+i/ℏ V_ba (ρ_bb-ρ_aa)
(3-14- ب) ρ ̇_bb=-γ_1 ρ_bb+i/ℏ (V_ba ρ_ab-V_ab ρ_ba )
(3-14- پ) ρ ̇_aa=γ_1 ρ_bb-i/ℏ (V_ba ρ_ab-ρ_ba V_ab )

آهنگ واپاشی از تراز |b به تراز |a با γ_1 نشان داده شده است و پارامتر γ_2 نامیزانی فاز اندازه حرکت دوقطبی اتمی است که از پهنای خط گذار پیروی می کند.
با استفاده از شکل چرخشی موج می توان تغییرات زیر را اعمال کرد:
(3-15) ρ_ba=ρ ̃_ba e^(-iωt ) , ρ_bb=ρ ̃_bb , ρ_aa=ρ ̃_aa
برای معادلات حرکت ماتریس داریم:
(3-16- الف) ρ ̃ ̇_ba=-(γ_2-i∆) ρ_ba-i(Ω_c+Ω_p e^(-iδt) )(ρ_bb-ρ_aa )
(3-16- ب) ρ ̃ ̇_bb=-2γ_1 ρ ̃_bb+ i(Ω_c+Ω_p e^(-iδt) ) ρ ̃_ab- i(Ω_c+Ω_p e^iδt ) ρ ̃_ba
(3-16- پ) ρ ̃ ̇_aa=2γ_1 ρ ̃_bb- i(Ω_c+Ω_p e^(-iδt) ) ρ ̃_ab+ i(Ω_c+Ω_p e^iδt ) ρ ̃_ba

که Δ=ω_ba-ω نامیزانی میدان کنترلی (پمپ) از گذار تشدید اتمی است. فرکانس رابی برای میدانهای کنترلی وکاوشگر بصورت Ω_c=(μ_ba E_0)⁄ℏ و Ω_p=(μ_ba E_p)⁄ℏ به ترتیب تعریف می شوند.
با استفاده از تعریف پارامتر وارونی جمعیت w=ρ_bb-ρ_aa، معادلات حرکت ماتریس چگالی می توانند بصورت زیر نوشته شوند:
(3-17- الف) ρ ̇ ̃_ba=-(γ_2-i∆) ρ ̃_ba-i(Ω_c+Ω_p e^(-iδt))w
(3-17- ب) w ̇=-γ_1 (1+w)+2i(Ω_c+Ω_p e^(-iδt) ) ρ ̃_ba-2i(Ω_c+Ω_p e^iδt ) ρ ̃_ba

روشن است که با وجود وابستگی به زمان معادلات (3-17) توسط پارامترδ ، سیستم نمی تواند یک حالت پایدار برای حالت پایا داشته باشند. اما اگر میدانهای کنترلی و کاوشگر دارای فرکانس یکسانی باشند داریم δ=0 و معادلات حرکت ( 3-16 ) دارای یک ضریب ثابت می شوند و بنابراین می توان جواب ایستا در طول زمان را پیدا کرد.
ابتدا فرض می کنیم که میدانهای کنترلی و کاوشگر در فرکانس یکسانی هستند وداریم δ=0 . بنابراین در معادلات (3-16 ) ضریب وابسته به زمان نخواهیم داشت، اما جواب محیط به میدانهای کاوشگر و کنترلی آمیخته خواهد شد، چون فرکانس های کاوشگر و کنترلی یکی خواهند شد و سیستم عملاً یک میدان را می بیند. بنابراین برای δ=0 و از معادله ( 3-17) نمی توان جوابی برای دوپایداری نوری بدست آورد. با استفاده از روش تجزیه ای در معادلات حرکت، مسئله وابسته به زمان را حل می کنیم.
این کار می تواند اختلاف پراکندگی فرآیندهای موجود در پاسخ محیط را، بهبود بخشد.

(3-18-الف) ρ ̃_ba=ρ ̃_ba^((0))+∑_(m=1)▒(ρ ̃_ba^m e^(-imδt)-ρ ̃_ba^(-m) e^imδt )

(3-18-ب)