4⁡〖θ/2〗 [|d_(n,m) (t)|^2 ]
(4-21)
و همچنین σ_θ^2 را به شکل زیر بدست می آوریم
σ_θ^2=<θ^2>-〖<θ>〗^2(4-22)
که
<θ> =∫_o^π▒〖<θ,ϕ=o|ψ(t)><ψ(t)|θ,ϕ=o>θ sin⁡θ dθ=〗 2π ∫_o^π▒〖Q(t)θ sin⁡θ dθ〗
(4-23)
برای حالت خاص ϕ=o ، σ_θ^2 به شکل زیر نوشته می شود
σ_θ^2=2π ∫_o^π▒〖Q(t) θ^2 sin⁡θ dθ〗-[2π ∫_o^π▒〖Q(t)θ sin⁡θ dθ〗]^2
(4-24)
با استفاده از معادله های (4-21) و (4-24) می توانیم انتگرال معادله ی (2-25) را حل کنیم و نمودار آنرا در شکل (4-12) رسم کنیم. در شکل (4-12- الف) می بینیم که در بعضی از بازه های زمانی، درهم تنیدگی صفر است یا سیستم جداپذیر است، طول این بازه های زمانی با گذشت زمان کاهش می یابد. برای مثال اولین بازه زمانی که در آن فیشر صفر است، از t=3s تا t=25s است. دومین بازه زمانی (t=40-55s) و بازه ی بعدی (t=72-83s). نمودارهای اطلاعات فیشر برای درهم تنیدگی نوسانهای بیشتری را نسبت به تلاقی و منفی بودن نشان می دهند. این مطلب بیانگر این واقعیت است که معیار اطلاعات فیشر، نسبت به معیار های منفی بودن و تلاقی ضعیف تر است زیرا در زمانهایی که منفی بودن و تلاقی، درهم تنیدگی را آشکارسازی کرده اند، اطلاعات فیشر در آن زمانها سیستم را جداپذیر شناخته است.

شکل(4-10) معیار تلاقی بر حسب gt برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شده الف و ب) θ=π/3. پ و ت) θ=π/6

4-10 نتیجه گیری کلی
راه حل جدیدی که از مدل جینز- کامینگز بدون تقریب موج چرخان ارائه شده است نسبت به روشهایی که قبلا ارائه شده اند بسیار آسانتر است و با اینکه از هیچ تقریبی در آن استفاده نشده، نمودار ویژه مقدار انرژی نسبت به ضریب کوپلاژ با نمودار روش های قبلی رفتار یکسانی را نشان می دهد.
درهم تنیدگی اتم- فوتون تحت هامیلتونی جینز- کامینگز در دو مدل با تقریب موج چرخان و بدون تقریب موج چرخان برای ضرایب کوپلاژ متفاوت بررسی شد، هر چه ثابت کوپلاژ اتم-میدان کمتر باشد، نتایج دو مدل بیشتر به هم شباهت دارد. اما با افزایش ثابت کوپلاژ، رفتار دو مدل کاملا با هم متفاوت می شود بطوریکه در مقادیر بالای ثابت کوپلاژ، دیگر نمی توان از تقریب موج چرخان استفاده کرد.
درهم تنیدگی زوج کوبیت را تحت هامیلتونی جینز-کامینگز با تقریب موج چرخان با معیارهای مختلفی از قبیل تلاقی، منفی بودن و اطلاعات فیشر اندازه گرفتیم. هر سه مقیاس، پدیده ی مرگ ناگهانی درهم تنیدگی را نشان دادند. معیار منفی بودن تنسبت به دو معیار دیگر قویتر است، زیرا قادر به آشکارسازی درهم تنیدگی در نقاطی بود که دو معیار دیگر، در آن نقاط سیستم را جداپذیر تشخیص داده بودند. معیار اطلاعات فیشر به عنوان یک معیار جدیدی برای اندازه گیری درهم تنیدگی معرفی شد که البته معیار ضعیفی است، زیرا نمی تواند در نقاطی که مقیاسهای دیگر، درهم تنیدگی را آشکارسازی کرده اند، سیستم را درهم تنیده تشخیص دهد.

4-11 پیشنهادات برای آینده
با دقت در روابط ویژه مقادیر انرژی که برای هامیلتونی جینز –کامینگز بدون تقریب موج چرخان بدست آوردیم متوجه می شویم که انرژی برحسب پارامتر همدوسی α می باشد، در نتیجه پیوسته است؛ در حالیکه ویژه مقادیر انرژی هامیلتونی جینز – کامینگز با تقریب موج چرخان بر حسب n است، یعنی گسسته است. در تحقیقات آینده می توان علت این تفاوت را بررسی کرد.
می توان درهم تنیدگی زوج کوبیت را تحت هامیلتونی جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان اندازه گرفت.
با استفاده از معیار منفی بودن و اطلاعات فیشر که در این تحقیق معرفی شد می توان درهم تنیدگی سه کوبیت را در مدل جینز-کامینگز با تقریب موج چرخان اندازه گرفت.
می توان تاثیر عوامل مختلفی از قبیل تفاوت ثابت کوپلاژ های دو کاواک و … را بر درهم تنیدگی زوج کوبیت بررسی کرد.

در پایان لازم به ذکر است که برای تدوین این رساله مقاله های زیادی مطالعه شده که مطالب عینا از آنها آورده نشده است اما اسامی آنها در قسمت مراجع داده می شود.

فهرست منابع و مآخذ
الف) منابع فارسی
باتوانی مژگان، میرزایی مهدی،” محاسبه در هم تنیدگی دو کیوبیت در حال برهم کنش با میدان همدوس با معیارهای تطابق و نگاتیویته در مدل جینز – کامینگز”، بیستمین کنفرانس اپتیک و فوتونیک ایران، بهمن 1392.
ب) منابع انگلیسی
1-A.Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Phys. Rev.47 (10), 777–780, (1935).
2-E. Schrödinger, M. Born, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4), 555–563, (1935).
3- M. McCredie, R. E. Rice, information proceeding and management, 35,45-76, (1999).
4- M. A. Nielson, I. L Chuang, Cambridge university Press, Cambridge, (2000).

5- M. Hayashi, Springer, (2006).
6- W. J. Munro, K. Nemoto and A. G. White,48, 7, (2001).

7- C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescue and B. Schumacher, Phys. Rev. A , 53. 2046 , (1996).
8- R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, physics letters A. 210, (1996).
9- R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, arXiv:quant-ph/9605038v2, (1996).
10- A. Peres,”, arXiv:quant-ph/9604005v2, (1996).
11- C. Bennett, D. DiVincenzo, J. Smolin and W. K. Wootters, Phys. Rev. A . 54 (5), 3824, (1996).
12- W. K. Wootters, Quantum Inf. Comput, 1(1), 27, (2001).
13- W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett, 80(10), 2245, (1998).
14- S. Hill,W. K. Wootters , Phys. Rev. Lett, 78(26) , 5022, (1997).
15- G. Vidal and R. F. Werner Phys. Rev. A, 65 .032314, (2001).
16- J. Eisert and M. B. Plenio ,J. Mod. Opt, 46.145, (1999).
17- K. Zyczkowski, Phys. Rev.A, 60, 3496, (1999).
18- R. A. Fisher, Proc. Cambridge Philos. Soc, 22. 700, (1925).
19- A.S.F. Obadaa, S. Abdel-Khalek, Physica A, 389, 891-898 , (2010).
20- C. Gerry, P. Knight, Cambridge university press, (2005).

21- W. P. Schleich, Wiley-VCH Verlag, Berlin, (2001).
22- P. Lambropouls, D. Petrosyan, Springer, (2007).
23- M. O. Scully, M. S. Zubairy, Cambridge University Press, Cambridge, (1997).
24- V. Buzek, H. Moya-Cessa, P. L. Knight, Phys. Rev. A, 45. 11, (1992).
25-M. Y¨ona¸c, T. Yu, J. H. Eberly, arXiv:quant-ph/0602206v2, 7 Apr (2006).
26- Q. H. Chen, T. Liu, Y. Yang and K H Wang, Phys. Rev. A, 82. 052306, (2010).
27- H. Zheng, S. Y. Zhu and M. S. Zubairy, Phys. Rev. Lett. 101. 200404, (2008).
28- Z. H. Li, D. W. Wang, H. Zheng, S. Y. Zhu and M. S. Zubairy, Phys. Rev. A.80 023801, (2009).
29- Q. H. Chen, T. Liu, Y. Y. Zhang and K. L. Wang, EPL, 96. 14003, (2011).
30- M. Mirzaee, M. Batavani, Chinese Physics B, 24, 4 (2015)
31- X. F. Qian, J. H. Eberly, Physics Letters A. 376(45). 2931, (2012).
32- M. Y¨onac, J. H. Eberly, arXiv:1211.5654v1 [quant-ph], (2012).
33- H. Heydari, D. Hoang, AIP Conference Proceedings, 1508 .1. 391, (2012).

34- E.T. Jaynes, F.W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).
35- T. Yu, J.H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004).
36- T. Yu, J.H. Eberly, Opt. Commun. 264, 2 (2006).
37- T. Yu, J.H. Eberly, Science 323, 598 (2009).
38- M. Yönaç, T. Yu, J.H. Eberly, J. Phys. B At. Mol.Opt. Phys. 39, 621 (2006).
39- M. Yönaç, J.H. Eberly, Opt. Lett. 33, 270 (2008).
40- H.T. Cui, K. Li, X.X. Yi, Phys. Lett. A 365, 44 (2007).
41- C.E. López, G. Romero, F. Lastra, E. Solano, J.C. Retamal, Phys. Rev. Lett. 101, 080503 (2008).
42- F.F. Fanchini, P.E.M.F. Mendonca, R.D.J. Napolitano, Quant. Inform. Comput. 11, 0677 (2011).
43- L. Mazzola, S. Maniscalo, J. Piilo, K.-A. Suominen, B.M. Garraway, Phys. Rev. A 79, 042302 (2009).
44- X.-F. Qian, J.H. Eberly, Phys. Lett. A 376, 2931 (2012).
45- M. Mirzaee, M. Batavani, ACTA PHYSICA POLONICA A, 127,3 (2015)

Abstract

Recently, application of quantum mechanics called “Quantum theory of information” has been of great interest in almost all of its protocols, entanglement plays crucial role, thus it is of great importance to know whether system is entangled or what is degree of entanglement.
In this thesis, the degree of entanglement for each systems: atom- photon and two qubit under Jaynes-Cummings Hamiltonian, has been measured using several criteria such as the von-Neumann entropy, concurrence, negativity and fisher information, then, the strength of each, has been compared.
Because of importance of interaction of atom and photon in Quantum optics and due to, the Jaynes-Cummings model (JCM) has been known so far as the best model for describing this interaction, in this issue, we have studied the JCM. Previously the JCM has been solved using the rotating wave approximation (RWA), now we have presented a new solution without the RWA and the entanglement of atom-photon system under JCM Hamiltonian has been measured without the RWA too.
Also, entanglement sudden death (ESD) about two qubit system has been studied and the entanglement degree of two qubit has been measured using several criteria.
Methods: For computing, we have used of Maple and Matlab.
Keywords: Jaynes-Cummingsmodel, Entanglement, Rotatingwave approximation, qubit.

Arak University
Faculty of Sciences
Department of Physics
Thesis for
Degree of Doctor of Physics (Ph.D)

Title:
Study of entanglement between atom and photon in Jaynes – Cummings model
Supervisor:
Dr. Mehdi Mirzaee
By:
Mozhgan Batavani
Spring /2015