جداپذیری و درهم تنیدگی را تعریف کرد. به طور مشابه اگر ماتریس چگالی مورد نظر ما به دو ماتریس چگالی زیر فضاها تجزیه شد این ماتریس جداپذیر است. یعنی
〖ρ_2 ∈H〗_2, 〖ρ_1 ∈H〗_1 →ρ =ρ_1⨂ρ_2 (2-2)
در حالت عمومی تر یک ماتریس چگالی را جداپذیر گوییم، اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت
ρ=∑_i▒〖P_i ρ_i^1⨂ρ_i^2 〗 , ∑_i▒P_i =1
(2-3)
و اگر ماتریس چگالی را نتوان بصورت فوق نوشت یک حالت درهم تنیده داریم. بنابراین، حالتهایی مانند
|ψ =1/√2(|o,1-|1,o)(2-4)
درهم تنیده اند. یکی از مسائل مهم در اطلاع رسانی کوانتومی تشخیص درهم تنیدگی است. ملاک های بسیاری برای تشخیص درهم تنیدگی ارائه شده است، یکی از این ملاک ها تحت عنوان تجزیه اشمیت برای تشخیص درهم تنیدگی تابع موج معرفی شده است که در بخش بعد به آن می پردازیم و مابقی برای ماتریس های چگالی بیان شده اند که از بخش (2-3) تا (2-6) آنها را معرفی می کنیم. بعد از اینکه تشخیص داده شد که سیستم درهم تنیده است یا خیر، باید میزان درهم تنیدگی سیستم را اندازه گرفت، که برای اندازه گیری در هم تنیدگی معیارهای زیادی تاکنون معرفی شده اند که ما در این فصل سه نوع از آنها، که در فصل 4 مورد استفاده قرار خواهند گرفترا معرفی می کنیم.

2-2 تجزیه اشمیت
هر بردار 〖|ψ〗_AB متعلق به H_A⨂H_B می تواند با انتخاب پایه های مناسب به شکل زیر نوشته شود
〖|ψ〗_AB=∑_(i=1)^M▒〖a_i |i_A|i_B〗
(2-5)
که در آن i_A∈H_A و i_B∈H_B بخشی از پایه های راست هنجار هستند. همچنین a_io و ∑_(i=1)^M▒〖a_i^2=1〗 و M≤dim⁡〖H_A 〗,dim⁡〖H_B 〗، به a_i ضرایب اشمیت می گویند.

2-3 آنتروپی فون- نویمان
در سال 1996 ، بنت و همکارانشپیشنهاد دادند که آنتروپی فون نیومن هریک از سیستم های یک سیستم مرکب ، معیار خوبی برای تعیین میزان درهم تنیدگی آن حالت مرکب است .اگر بهS=-tr(ρ log_2 ρ) دقت کنیم، می بینیم که در مورد چگالی خالص یکی از عناصر ماتریس 1 و باقی صفر هستند. لذا S=o بدست می آید. در مورد یک سیستم مرکب AB اگر این سیستم خالص باشد، S(AB)=o بدست می آید، اما اگر ما ρ^A و ρ^B را حساب کرده و آنتروپی فون – نویمان هر کدام را صفر بدست آوریم، می توان نتیجه گرفت حالت جداپذیر است. و می توان آن را به صورت ضربی نوشت، چرا که در مورد حالت های ضربی داریم
S(AB)=S(A)+S(B)(2-6)
اثبات- حالت جدا پذیر ρ^A⨂ρ^B را در نظر می گیریم
S(AB)= -tr(ρ^A⨂ρ^B log_2 ρ^A⨂ρ^B )
=-tr([ρ^A⨂ρ^B (log⁡〖ρ^A 〗+log⁡〖ρ^B 〗 )]
=-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^A 〗 )-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^B)〗
=-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^A 〗 )-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^B)〗
=-{tr(ρ^A ) tr(ρ^A log⁡〖ρ^A 〗 )+tr(ρ^A ) tr(ρ^B log⁡〖ρ^B)〗}
=-tr(ρ^A log⁡〖ρ^A 〗 )- tr(ρ^B log⁡〖ρ^B)〗=S(A)+S(B)
به عبارت بهتر، اگر تابع موج خالص باشد، آنتروپی فون – نویمان معیار مناسبی برای تشخیص درهم تنیدگی می باشد.
مثال- حالت پاد متقارن زیر را در نظر می گیریم
|ψ ̅ =1/√2(|o,1-|1,o)(2-7)
که |ψ ̅ یکی از حالتهای بل است.
ρ=|ψ ̅ψ ̅ |
=1/2(|(1|o<1||o|1<1||1<1|+|o><1|+|o><1|)+sin⁡(φ_i ) 〗 (|1><1|) φ_i زاویه بین صفحه آنالیزور با ذره ی i ام می باشد در محاسبات، این زاویه به گونه ای انتخاب می شود که میزان نقض بیشینه شود مثال- ماتریس چگالی ρ را در حالت ورنر که به صورت زیر است، در نظر می گیریم ρ_w (φ,d)=〖(d^3-d)〗^(-1) [(d-φ)I+(dφ-1)V] که در آن d≥2 بعد فضای هیلبرت بوده، -1≤φ≤1 و Vρ⨂ρ ̃=ρ ̃⨂ρ می باشد. برای حالت خاص ρ_w (φ,d)، شرط نامساوی بل برای جداپذیری این حالت، به صورت زیر بدست می آید. 1/2-3/4 √2≤φ≤1 اگر β=(1-2φ)/3 حالت ورنر- پوپسکو حاصل می شود. ρ=1/4 (1-β) I_A⨂I_B+β|ψ>ψ|
که در آن |ψ از رابطه (2-7) بدست می آید.برای جداپذیری این حالت داریم
1/2-3/4 √2≤φ≤1 ⟹ 1/2-3/4 √2≤(1-3β)/2≤1 ⟹ o≤β≤1/√(2 )

2-5 معیار آلفا – آنتروپی
این معیار از نامساوی بل قوی تر است. ما برای حالات ورنر- پوپسکو نشان می دهیم که آلفا آنتروپی شرط محکمتری را بدست می آورد. آنتروپی زیر را در نظر بگیرید
S(α)=1/(1-α) Log_2 tr ρ^α α1(2-9)
وقتی α→1، همان آنتروپی فون- نویمان بدست می آید. طبیعی است که در حالت کلاسیک یعنی (عدم درهم تنیدگی) آنتروپی کل از آنتروپی اجزا بزرگتر است، یعنی
S_α (ρ)≥〖Max 〗_(i=1,2) S_α (ρ_i )(2-10)
که در آن ρ_i ماتریس چگالی هر یک از زیر سیستم هاست. بنابراین وقتی این نامساوی نقض شود اتفاق غیر کلاسیکی افتاده است، یعنی درهم تنیدگی داریم. به عنوان مثال، با داشتن بردار های زیر
|o ≡(o¦1) |1 ≡(1¦o)
|o|1≡((o¦o)¦(1¦o)), |o|1≡((o¦1)¦(o¦o)) ,|ψ =1/√2 ((( o)¦( 1))¦((-1)¦( o)))
و طبق رابطه (2-10) برای حالت ورنر-پوپسکو داریم
ρ≡(■(■((1-β)/4&[email protected]&(1+β)/4)&■(o&[email protected](-β)/2&o)@■(o &(-β)/[email protected] &o)&■((1+β)/4&[email protected]&(1-β)/4)))(2-11)
که برای α=2، نتیجه زیر را داریم
S_2 (ρ)=-log⁡〖tr ρ^2 〗=-log⁡〖(1+3β^2)/4〗
ρ_A=tr_B (ρ)=1/4 (■(1&[email protected]&1))=ρ_B → S_2 (ρ_i )=log⁡8
با توجه به رابطه (2-10) داریم
S_2 (ρ)≥S_2 (ρ_i ) → 1+3β^2≤2 → β≤1/√3
در صورتیکه از نامساوی بل مقدار β≤1/√2 را بدست آوردیم. با مقایسه این دو مقدار مشاهده
می کنیم که شرط آلفا – آنتروپی قوی تر است.

2-6 ترانهاده جزئی
دیدیم که اگر ماتریس چگالی به صورت ترکیب محدب نوشته شود جداپذیر است. اگر مولفه های ماتریس چگالی کل را در نظر بگیریم
ρ_(mμ,nυ)=∑_i▒〖P_i (ρ_i^A )_mn 〗 (ρ_i^B )_μν(2-12)
که در آن اندیس های لاتین مربوط به زیر سیستم اول و اندیس های یونانی مربوط به زیر سیستم دوم باشد. حال ماتریس σ را با این ویژگی در نظر میگیریم
σ_(mμ,nυ)=ρ_(nμ,mυ)
که در آن اندیس های لاتین (زیر سیستم اول) ترانهاد شده اند و اندیس های یونانی بدون تغییر باقی ماندند به این تبدیل ترانهاده جزئی می گویند. ویژه مقادیر ماتریس ρ تحت تبدیلات یکانی U^A⨂U^B ناوردا باقی می مانند. یعنی
ρ→(U^A⨂U^B ) ρ (U^A⨂U^B )^+
ما برای σ داریم
σ→(〖U^A〗^T⨂U^B ) ρ (〖U^A〗^T⨂U^B )^+
که این هم یک تبدیل یکانی است و ویژه مقادیر σ تحت این تبدیل ناوردا باقی ماند.اکنون با درنظر گرفتن رابطه (2-3)، عملگرσ را می توان به صورت زیر نوشت
σ=∑_i▒〖P_i (ρ_i^A )^T⨂ρ_i^B 〗(2-13)
هر ماتریس چگالی ویژه مقادیر مثبت دارد، واضح است که (ρ_^A )^T نیز ویژه مقادیرش مثبت است، پس می توان این گونه نتیجه گرفت که اگر ویژه مقادیر یک ماتریس چگالی تحت تبدیل ترانهاده جزئی کماکان مثبت باقی ماند، آن حالت جداپذیر است. ماتریس چگالی (2-11) را در نظر میگیریم. برای بدست آوردن ترانهاده جزئی آن را به بلوک های 2×2 تقسیم کرده و هرکدام را جداگانه ترانهاد می کنیم. داریم
ρ≡(■(■((1-β)/4&[email protected]&(1+β)/4)&■(o&[email protected](-β)/2&o)@■(o &(-β)/[email protected] &o)&■((1+β)/4&[email protected]&(1-β)/4)))(2-14)
با محاسبه ویژه مقادیر در می یابیم که این ماتریس سه ویژه مقدار (1+β)/4 و یک ویژه مقدار (1-3β)/4 دارد. اگر شرط مثبت بودن رابرای ویژه مقدار چهارم اعمال کنیم سه ویژه مقدار قبلی تحت پوشش قرار می گیرند.
(1-3β)/4o → β<1/3(2-15) به ازای β<1/3، ماتریس چگالی جداپذیر می شود که این مقدار قوی تر از شرط های نامساوی بل و آلفا آنتروپی می باشد. آشر-پرز نشان داد که معیار ترانهاده جزئی، شرط لازم برای جداپذیری یک سیستم دوتایی می باشد. اما برادران هرودکی اثبات کردند که این معیار تنها برای حالت هایی که فضای هیلبرت H^A⨂H^B ، 2×2 یا 2×3 باشد شرط لازم و کافی است . 2-7 در هم تنیدگی تشکیل درهم تنیدگی تشکیل از نظر تاریخی، اولین معیار درهم تنیدگی است که ارائه شده است. درهمتنیدگی تشکیل، تعمیم معیار آنتروپیدرهم تنیدگی برای حالتهای مخلوط می باشد. و و درهم تنیدگی تشکیل برای یک آنسامبل متشکل از حالتهای خالص عبارت است از: میانگین آنتروپی درهم تنیدگی این حالتهای خالص. اما از آنجا که ماتریس چگالی یک سیستم می تواند به صورتهای مختلفی از مجموعه ای از حالتهای خالص ساخته شود، درهم تنیدگی تشکیل با کمینه سازی روی همه آنسامبل هایی که را می سازند تعریف می شود (2-16) تعریف درهم تنیدگی تشکیل نیازمند یافتن کمینه مقداررابطه فوق به ازای تمام آنسامبلهای ممکنی که را می سازند، می باشد که واضح است انجام چنین عملی بسیار مشکل است. به همین دلیل در اینجا برای چند سیستم خاص ، عبارات مشخصی برای بدست آوردن درهم تنیدگی ساختار ارائه می دهیم. در ادامه معیار مناسب را برای یک زوج کوبیت معرفی می کنیم. برای یک زوج کوبیت یک فرمول کلی برای بدست آوردن وجود دارد که این رابطه با کمک کمیتی به نام تلاقی تعریف می شود. ابتدا یک حالت خالص از دو کوبیت را در نظر می گیریم، تلاقیاین حالت بصورت تعریف می شود که که در آن مزدوج مختلط در پایه های استاندارد و ماتریس پائولی می باشد. عمل اسپین- معکوس، هنگامیکه بر روی یک حالت خالص جداپذیر اعمال شود ، حالت هرکوبیت را به حالت متعامد آن تبدیل می کند.بنابراین تلاقی چنین حالتی صفر است.در حالیکه یک حالت کاملا در هم تنیده، مثل حالتهای بل، تحت این عمل ناوردا باقی ماند، بنابراین C مقدار 1 را که بیشینه مقدار آن است ، در این حالت خواهد داشت. با این تعاریف درهم تنیدگی تشکیل برای یک حالت خالص از دو کوبیت به صورت زیر تعریف می شود . (2-17) که درآن تابع عبارتست از : (2-18) و تابع آنتروپی دوتایی است وبه صورت می باشد.تابع به طور یکنواخت به ازای افزایش می یابد. بنابراین،تلاقی می تواند خود به عنوان یک معیار درهم تنیدگی در نظر گرفته شود، هرچند این کمیت برخلاف درهم تنیدگی تشکیل، پایه تئوری اطلاعاتی ندارد. تلاقی همچنین می تواند با استفاده از ضرایب بسط تابع حالت بدست آید. اگرحالت مورد نظر را در پایه های استاندارد به صورت زیر بنویسیم : که در آن . در اینصورت اکنون یک حالت مخلوط را در نظر می گیریم. برای یک حالت مخلوط از دو کوبیت همان روابط (2-17) و (2-18) برای درهم تنیدگی تشکیلحفظ می شود، با این تفاوت که در این حالت تلاقیاز رابطه زیر بدست می آید (2-19) که درآن ها جذرویژه مقادیر هستند که به ترتیب نزولی مرتب شده اند. و ماتریس چگالی اسپین- معکوس شده می باشد . (2-20) 2-8 منفی بودن معیارهای درهم تنیدگی که تاکنون ارائه شدند، هیچکدام به آسانی قابل محاسبه نیستند. تقریبا همگی یک نوع بهینه کردن در تعریف خود دارند که محاسبه آنرا مشکل می کند و حداکثر، در حالتهای خاص رابطه صریحی برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی بدست می دهند. با هدف ارائه یک معیار قابل محاسبه درهم تنیدگی، ویدال و ورنر ، بر پایه معیار پرز (ترانهاده جزئی) مقیاسی ارائه کردند که درآن میزان منفی بودن ویژه مقادیر ماتریس چگالی محاسبه می شود. در این معیار دو کمیت محاسبه می شود که هردو بر پایه اندازه رد ترانهاده جزئی حالت مورد نظر می باشند که به راحتی توسط برنامه های ریاضی موجود قابل محاسبه است. این کمیت، منفی بودن نام دارد و عبارتست از (2-21- الف) این کمیت در واقع برابر قدرمطلق مجموع تمام ویژه مقادیر منفی می باشد. کمیت دیگر منفی بودن لگاریتمی می باشد که به صورت زیر تعریف می شود: (2-22) ثابت شده است که تحت LOCC افزایش نمی باید ولی تنهاتحتزیر مجموعه ای از LOCC ناورداست.این دو کمیت برای حالتهای جداپذیر صفر می شوند. همچنین برای حالتهای درهم تنیده مقید (که برای آنها نیزویژه مقادیر ماتریس ترانهاده جزئی چگالی مثبت می باشند) باز هم هر دو کمیت صفر می باشند. کمیت برای حالتهای بل است . معیار منفی بودن در حالت خاص دو کوبیت به یک رابطه ساده تر منجر می شود. در اینحالت اگر کوچکترینویژه مقدار ترانهاده جزئی باشد در اینصورت (2-21-ب) می باشد. برای حالتهای خالص به راحتی می توان نشان داد که منفی بودن با تلاقی مساوی است، ولیدر مورد حالتهای مخلوط فقط می توان گفت که . و 2-9 اطلاعات فیشر اخیرا توجه ویژه ای به اطلاعات فیشر(FI) شده است اطلاعات فیشر اولین بار توسط فیشر به عنوان معیار دقت ذاتی در نظریه آماری معرفی شد. اهمیت FI در مکانیک کوانتومی و نظریه تابع چگالی از قبل مورد توجه واقع شده است. معادلات مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی را می توان با استفاده از اصل کمینه FI بدست آورد. اخیرا از FI به عنوان معیار اندازه گیری درهم تنیدگی استفاده شده است. معیار اطلاعات فیشرFI برای هر تابع توزیع f(x)توسط رابطه زیر تعریف می شود. ∫▒〖dx f(x) ((∂ ln⁡f(x))/∂x)^2 〗(2-23) FI مربوط به تابع هوسیمی Q(x,y,t)=1/π<β|ρ_F (t)| β^*> به صورت زیر داده می شود.

I_F (t)=1/2πℏ ∑_(j=1)^2▒∫_(-∞)^∞▒∫_(-∞)^∞▒〖Q(x,y,t) (σ_j (∂ ln⁡Q(x,y,t))/(∂x_j ))^2 dx dy 〗
(2-24)
که σ_j^2= -〖〗^2 و (x_1,x_2 )=(x,y). ρ_F (t)ماتریس چگالی کاهش یافته میدان با β=x+iy است، پس رابطه بالا مربوط به اطلاعات فیشر میدان می باشد و اطلاعات فیشر اتمی (I_AF)هم به صورت زیر تعریف می شود. .
I_AF (t)=∑_(j=1)^2▒∫_o^2π▒∫_o^π▒〖Q_A (θ,φ,t) (σ_j (∂ ln⁡〖Q_A (θ,φ,t)〗)/(∂ϑ_j ))^2 sin⁡(θ)dθ dφ 〗
(2-25)
که (ϑ_1,ϑ_2)=(θ,φ) . برای یک اتم دو ترازه تابع Q_A به صورت زیر بدست می آید.
Q_A (θ,φ,t)=1/2πθ,φ |ρ_A (t)| θ,φ(2-26)
که| θ,φ تابع همدوس اتمی است و برای یک اتم دو ترازه به صورت زیر داده می شود.
| θ,φ =cos⁡〖(θ/2)|e +sin⁡〖(θ/2) exp⁡〖(iφ) |g〗 〗 〗(2-27)
که |e (|g) تراز برانگیخته (پایه ) اتمی است، در نتیجه تابع Q_A به صورت زیر می شود.
Q_A (θ,φ,t)=1/4π {1+ρ_Z (t) cos⁡θ+[ρ_X (t) cos⁡φ+ρ_Y (t) sin⁡φ ] sin⁡θ }
(2-28)
واضح است که چون Q_A یک تابع مثبت است I_AF (t) هم نمی تواند منفی باشد. همچنین در رابطه I_AF (t) انتگرالها روی دامنه های محدود تعریف شده اند در صورتیکه برای اطلاعات فیشر میدان، دامنه های x,yنامحدود می باشند. از آنجایی که یافتن یک رابطه بسته برای I_AF (t) کار مشکلی است از روش های عددی برای محاسبه استفاده می کنیم، با این وجود در مقادیر خاص از پارامترهای برهم کنش می توان شکل دقیق آنرا بدست آورد. برای مثال در حالت خاصی که اتم دو ترازه در t=o در تراز برانگیخته یا پایه باشد داریم ρ_Z (t)≠o و ρ_X (t)=ρ_Y (t)=o و از اینرو رابطه (2-28) به رابطه زیر تبدیل می شود.
Q_A (θ,φ,t=o)=1/4π {1+ρ_Z (o) cos⁡θ }(2-29)
و اطلاعات فیشر اتمی در t=o به صورت زیر بدست می آید.
I_AF (o)={π^2/4 (1-(ρ_z^2 (o))/16)-2}{1+((ρ_z^2 (o)-1))/(2ρ_z^ (o) ) ln⁡〖(1+ρ_z^ (o))/(1-ρ_z^ (o) )〗 }
(2-30)
در فصل های بعدی از این معیار برای محاسبه میزان درهم تنیدگی استفاده خواهیم نمود.

فصل سوم
برهم کنش اتم و میدان

3-1 مقدمه

یکی از مهم ترین کارکردهای علم فیزیک، بررسی اندرکنش نور و ماده است. جذابیت این موضوع بقدری است که در طی سالیان، دانشمندان بسیاری وقت خود را صرف مطالعه و پژوهش در این زمینه نموده اند.پیشرفت در فیزیک جدید و آزمایش های متنوع درباره نور، ماهیت کوانتومی آنرا به عنوان تابش الکترومغناطیسی آشکار کرد. برای میدان الکترومغناطیسی نور، حالتهای مختلفی را (از شبه کلاسیک (همدوس) گرفته تا حالت کاملا کوانتومی(فشرده)) می توان در نظر گرفت که در ابتدای این فصل به مطالعه آنها می پردازیم. از سوی دیگر، الکترون که به نوعی کوچک ترین بخش ماده است، از خود ویژگی دو گانه ذره ای- موجی را نشان داد. در چنین شرایطی می توان دریافت که اندرکنش میان این دو سیستم می تواند از جنبه های متفاوتی مورد بررسی قرار گیرد. در هر حالت برای بیان این فرآیند در گام نخست نیازمند یافتن نوعی جفت شدگی میان این دو سیستم هستیم. در ادامه فصل، پس از بررسی جفت شدگی سیستم ها، بطور ویژه مطالعه ی خود را بر اندرکنش سیستم اتمی دو ترازی با میدان های کلاسیکی و کوانتومی و ویژگی های آن ها متمرکز خواهیم کرد.
ذکر این نکته ضروری است که سیستم های دو ترازی از جمله سیستم های ساده اما اساسی کوانتوم اپتیک هستند. در بیان اهمیت مطالعه ی این سیستم ها همین بس که به کمک آن ها
می توان کوانتوم اپتیک و اطلاعات کوانتومی را به موازات هم هدایت کرد. به عنوان نمونه در مبحث بیت های کوانتومی در نظریه اطلاعات این پیوستگی مشهود است. در آخر، تحول زمانی سیستم اتم –فوتون و سیستم زوج کوبیت را مورد مطالعه قرار می دهیم.

3-2 میدان همدوس
از بین حالات کوانتومی یک نوسانگر هماهنگ، بیشترین نزدیکی به حد کلاسیک، متعلق به حالات همدوس می باشد. این حالات با |α نشان داده می شوند و ویژه حالت عملگر نابودی a به شکل زیر می باشند.
a|α = α|α(3-1)
که α عددی مختلط است، این ویژگی ویژه مقدار باعث می شود که عملگر a هرمیتی نباشد.
می توانیم |α را برحسب ویژه حالات عددی به شکل زیر بسط دهیم
|α =∑_(n=o)^∞▒〖c_n |n〗
(3-2)
با اعمال عملگر a روی این بسط داریم
a|α =∑_(n=1)^∞▒〖c_n √n|n-1 = α〗 ∑_(n=o)^∞▒〖c_n |n〗
با مساوی گرفتن ضرایب دو طرف داریم
c_n √n=αc_(n-1) → c_n=α/√n c_(n-1)=α^2/√(n(n-1)) c_(n-2)=⋯=α^n/√n! c_o
و بنابر این
|α =c_o ∑_(n=o)^∞▒〖α^n/√n!|n〗
از شرط بهنجارش می توانیم c_o را تعیین کنیم
α|α =1=〖|c_o |〗^2 ∑_n▒∑_n’▒(α^(*^n ) α^(n^’ ))/√(n!n^’ !)
1=〖|c_o |〗^2 ∑_n▒∑_n’▒〖|α|〗^2n/n!= 〖|c_o |〗^2 e^(〖|α|〗^2 ) → c_o=e^(-1/2 〖|α|〗^2 )
و در نهایت حالت همدوس بهنجار شده، به شکل زیر بدست می آید
|α =e^(-1/2 〖|α|〗^2 ) ∑_(n=o)^∞▒〖α^n/√n!|n〗
(3-3)
مهمترین ویژگی این حالات حداقل بودن عدم قطعیت در مورد آنهاست، که با در نظر گرفتن عملگرهای مربعی می توان عدم قطعیت را این گونه برآورد کرد.
X_1=1/2(a^++a) , X_2=1/2i(〖a-a〗^+)
〖〖(∆X_1)〗^2〗_α=〖〖(∆X_2)〗^2〗_α=1/4(3-4)
بنابراین هر گونه میزان خطا را در دستگاه مختصات X_1 و X_2 را می توان با دایره ای به شعاع ½ نشان داد شکل (3-1). در مخابرات کوانتومی، میزان عدم قطعیت، معیاری از نویز یا نوفه محیط و یا کانال محسوب می شود. و لذا اگر این مقدار حداقل باشد، نوفه ی کمتری ایجاد مزاحمت م