سطح کره تقریبا برای هر دو تقریب یکسان هستند زیرا کانون لیزر نزدیک لبه سطح ( کارایی تله اندازی بیشینه ) روی مرکز خط کره واقع شده است.

شکل 1-9: کارایی تله اندازی عرضی میکروکره پلی استیرن بوسیله تقریب های پرتویی دو همگرایی

نور می تواند نیرویی روی ماده به وسیله پراکندگی، جذب، گسیل یا تابش نور اعمال کند. با اختراع لیزر به صورت تجربی اثبات این نیرو ممکن شد. اشکین اولین کسی بود که نیروی گرادیان و پراکندگی روی اشیا به اندازه میکرونی را مشاهده کرد. بیش از یک دهه و نیم بعد، اشکین و همکاران او یک تله اپتیکی سه بعدی با باریکه لیزر ساختند که امروزه این به عنوان انبرک های نوری مشهور است.
1-11 حوزه میانی
اگر قطر ذره قابل مقایسه با طول موج نور استفاده شده برای تله گذاری باشد سازوکار رایلی و سازوکار اپتیک پرتویی استفاده نمی شود. در این محدوده میانی باید یک برهمکنش الکترومغناطیسی با ماده به کار گرفته شود. نیروی متوسط زمانی می تواند به وسیله رابطه زیر برقرار شود:
(1-20)
(1-21)
که در آن بردار واحد عمود به طرف بیرون است و انتگرال روی سطح بسته ذره گرفته می شود. با این سازوکار همه¬ی شش مولفه ی میدان الکترومغناطیسی باید در سطح شیء به دست آید که این محاسبات را خیلی پیچیده می سازد.
1-12 تله اندازی اپتیکی مانند یک مساله پراکندگی
درعمل، ذرات زیادی معمولاَ با انبرک های نوری دستکاری می شوند که ( مانند سلول¬های زیستی یا ذرات کلوئیدی ) در حوزه میانی که اندازه ذره در اندازه طول موج نور لیزر تله اندازی است قرار دارند. به علاوه در مغایرت با تقریب پاراکسال، برای انبرک های نوری میدان نور فرودی اغلب به یک نقطه مرکزی به صورت خیلی تنگ متمرکز می شوند.
در ادامه ما یک نگاه مختصر در توصیف دقیق از انبرک های نوری خواهیم کرد که بر پایه تئوری لورنز- می استوار و به روش ماتریس T شبیه است. توصیف لورنز- می اصلی به هر حال محدود به نمایان سازی موج تخت می شود که به طور واضح قابل کاربرد به انبرک های نوری نیست. توسعه با روشن سازی اختیاری عموما تئوری لورنز- می تعمیم یافته نامیده می شود. بنابراین میدان نور فرودی و میدان نور پراکنده در عبارت هایی از تابع موج های کروی برداری نمایش داده می شوند]36[ :
(1-22)
(1-23)
این جا و تابع موج های کروی برداری نوع ام هستند، و ضرایب مد شعاعی و سهمی هستند و و و و ضرایب بسط می باشند. انتخاب توابع موج کروی برداری به عنوان پایه برای میدان نور فرودی و پراکنده نسبت به تئوری لورنز- می تعمیم یافته، متداول ترم ی باشد ]22[. ضرایب بسط معمولا نمی توانند به صورت تحلیلی برای باریکه های نوعی استفاده شده در انبرک های نوری مانند باریکه گاوسی بنیادی یا باریکه لاگر گاوسی، یافته شوند. اما معمولا به صورت عددی استخراج می شوند زیرا این باریکه ها حل های دقیق معادله هلمهلتز برداری نیستند، بلکه حل معادله هلمهلتز محوری می باشد ]36[. زمانی که میدان نور فرودی در نمایش معادله 1-22 داده شود وظیفه برای حل، یافتن و میدان نور پراکنده شده به وسیله ذره است. زمانی که میدان های نور پراکنده و فرودی مشخص شدند وسیله های سرراست محاسبه نیرو و گشتاور اعمال شده روی ذره به وسیله در نظر گرفتن تکانه زاویه ای محوری نور پراکنده و فرودی وجود دارد ]36[.
برای مورد همگن (کره همسانگردی که در آن هیچ جفت شدگی بین مد های متفاوت وجود ندارد) میدان های فرودی و پراکندگی به وسیله روابط زیر به هم متصل می شوند:
(1-24)
(1-25)
که در آن و به وسیله تئوری لورنز- می داده می شوند ]36[. در مورد خیلی کلی یک ذره با شکل دلخواه، جفت شدگی لازم است که در نظر گرفته شود و ضرایب بسط موج پراکنده به وسیله روابط زیر داده می شود :
(1-26)
(1-27)
که در آن جمع های بی نهایت در قطع می شود. با فرض آن که ضرایب و عناصر بردار ستونی هستند و و به وسیله نمایش داده شوند، می توان نوشت:
(1-28)
که در آن ماتریس گذار است که اغلب برای سادگی ماتریس نامیده می شود. برای مورد ذره های کروی این ماتریس قطری است و کاملا به وسیله ضرایب می تعیین می شود. در حالی که ماتریس برای ذرات با شکل دلخواه خیلی پیچیده است. به هر حال هنوز آن فقط به خصوصیات ذره بستگی دارد و مستقل از میدان نور می باشد. این خاصیت ویژه برای محاسبات عددی برای انبرک های نوری مهم است. وقتی که نیروها وگشتاورهای تله اندازی در موقعیت های مختلف در میدان نور مورد توجه هستند یا زمانی که میدان های نور متفاوت در نظر گرفته می شوند در این موارد لازم است تا ماتریس یک بار برای ذره داده شده محاسبه شود و می تواند برای محاسبات بعدی استفاده گردد.
شکل 1-10 چند مثال از شبیه سازی عددی برای روزنه های عددی متفاوت عدسی های کانون کننده را نشان می دهد. کدهای عددی استفاده شده برای این شبیه سازی بر روی جعبه ابزار محاسباتی متلب موجود می باشد و قابل دسترس برای عموم است ]36[ و برای محاسبه نمودارهای شدت دو بعدی و میدان نیروی سه بعدی کامل گسترش یافته است. در شکل 1-10(الف) این می تواند دیده شود که یک باریکه گاوسی که به وسیله عدسی هایی با روزنه عددی متمرکز می شوند یک چاه پتانسیل پایدار برای ذره ایجاد نمیکنند. افزایش روزنه عددی تا 1-10(ب) یک حالت تعادلی برای ذره شبیه سازی شده با قطر یک طول موج و یک ضریب شکست نسبی را نتیجه می دهد. به هر حال، این پتانسیل کمینه نسبتا کم عمق می باشد و تنها حتی کانونی کردن شدید می تواند یک چاه پتانسیل عمیق کافی برای تله اندازی ذره در حضور حرکت براونی ایجاد کند1-10(ج). برای همه موارد آن می تواند دیده شود که پتانسیل تله انداز در جهت انتشار پرتو ضعیف ترین است. چون نیروی پراکندگی همواره یک مولفه در آن جهت دارد که فقط می تواند به وسیله نیروی گرادیان در جهت خنثی شود.

شکل1-10: دورنمای پتانسیل اپتیکی برای ذره ذره کروی بدلیل یک باریکه گائوسی متمرکز شده منتشره در راستایZ +.روزنه های عددی متفاوت برای عدسی کانونی کننده در( الف-ج) در نظرگرفته شده است. در ستون سمت چپ توزیع شدت عرضی و طولی میدان. ناحیه حدود طول موج. ستون وسطی نیروهای موضعی اعمالی به ذره رانشان می دهد(ماتریس پیکان). مقادیر مطلق در مقادیر پشت ماتریس پیکان کدگذاری شده است، نواحی کم نیرو(آبی)و نواحی پر نیرو(قرمز). در ستون راست، میدان نیروی یکسان برروی توزیع شدت نشان داده می شود، شیفت بین موقعیت نیرو و موقعیت تعادلی ذره را نشان می دهد. همه محورها در واحد طول موج برچسب گذاری می شوند.ذره فرض می شود که قطر یک طول موج و ضریب شکست دارد و و سیال احاطه کننده ضریب شکست دارد.

1-13 تقریب پاراکسیال:
یک طرز عمل سخت از انبرک های نوری در تئوری الکترومغناطیس، به طور آشکار سازوگار مطلوب برای گرفتن یک توصیف کمی از نیروهای موضعی عمل کننده روی ذرات اختیاری می باشد. در ادامه، خواهیم دید حتی زمانی که باریکه ها پاراکسیال فرض شوند یک تخمین کافی از کیفیت چشم انداز پتانسیل اپتیکی می تواند به دست آید (فرضی که به طور واضح نیاز به بحث دقیق در حوزه باریکه های لیزر شدیدا متمرکز شده می باشند).
یک سنجش مفید برای بررسی اعتبار تقریب پاراکسیال، نسبت طول موج و پهنای باریکه می باشد ]32[.
(1-29)
که باید برای باریکه های پاراکسیال کوچک باشد. کانونی کردن فشرده، پهنای باریکه را نازک می کند و بنابراین خطاهای ایجاد شده به وسیله تقریب پاراکسیال را افزایش می دهد. برای گرفتن اثرات کمی اشتباهات، یک باریکه گاوسی اولیه را در نظر می گیریم که به واسطه عدسی شیءی میکروسکوپی با روزنه عددی متمرکز شده است. با تعریف روزنه عددی و پهنای باریکه و مقدار نوعی ضریب شکست روغن غوطه ور ، پارامتر s می تواند به صورت محاسبه شود. برای این حوزه یک انحراف میانگین از میدان های الکتریکی حدوداَ 20% از سازوکار دقیق، می تواند انتظار رود. اگر چه این خطا بزرگ است، و خطای بیشینه می تواند حتی در مکان های خاص در نزدیکی کانون مهم باشد، آن می تواند انتظار رود که ساختار کیفی میدان به صورت کافی توصیف شده است. برای افزایش دقت، ترم های مرتبه بالاتر می توانند شامل شوند. برای مقدار یکسان تقریب مرتبه پنجم تنها یک اشتباه میانگین تقریبا 3% نتیجه می دهد.

1-14 نیروهای اضافی در انبرک های نوری:
نیروی گرادیان اساس عملکرد همه انبرک های نوری است و یک نیروی بازگرداننده ای ارائه می دهد که تابع خطی از جابه جایی x است و در فاصله چند صد نانومتر دامنه دارد. معادله حرکت مربوط به رفتار یک شی به دام افتاده با جرم m در یک محیط که یک میرایی گرانروی ( در زیر ببینید ) می دهد، یک تعادل بین نیروهای لختی، گرانروی و الاستیک است:
(1-30)
که ثابت الاستیک یا سختی تله نوری است. در غیاب هر میرایی ( یعنی در هوا یا در خلا ) نتیجه، یک نوسانگر با فرکانس تشدید خواهد بود که وسیله رابطه زیر داده می شود:
(1-31)
در کاربردهای زیستی نوعی، سختی انبرک های نوری حدود 0.05 pN است و اشیا دام افتاده حدود 1 ضخامت دارند ( متناظر یک جرم ). از این رو فرکانس تشدید تقریبا 50 است. به هر حال به خاطر این که آزمایش های زیستی باید در یک محیط آبی انجام شود، نیروی میرایی قابل توجهی ناشی می شود. برای ذرات با اندازه میکرون با شعاع r ( یک سیال حرکت کننده با ویسکوزیته ) ثابت کشش استوکس با رابطه زیر داده می شود:
(1-32)
برای یک کره با قطر 1 در آب است . ترکیب میرایی ویسکوزیته و سختی فنر مانند انبرک های نوری با یک فیلتر کم عبور قطب منفرد با -3dB بالا می رود که در آن فرکانس با رابطه زیر داده می شود:
(1-33)
ما برای کاربرد زیستی نوعی یافتیم که نورد فرکانس خاموش زیر 1 kHz است . چون که این خیلی پایین تر از فرکانس تشدید است. حرکت خیلی بیش میرا است در حقیقت این معنی می دهد که می توان از نیروها یلختی و گرانشی با همدیگر صرف نظر کرد . به علاوه برای فراهم آوردن نیروی میرایی، سیال احاطه کننده مزیت تامین خنک سازی جهت کمینه کردن اثرات گرمایش نور لیزر را دارد.
آزمایشات زیستی باید حول وحوش دمای اتاق انجام شوند ( یعنی 300 k ). چون سیستم مکانیکی که ما شرح دادیم بیش میرا است، ما می یابیم که چشمه میرایی نیز یک منبع انرزی گرمایی ورودی است که به وسیله حاصل ضرب ثابت بلتزمن و دمای مطلق داده می شود ( ). بمباران تصادفی شی دام افتاده به وسیله مولکول های آب احاطه کننده با یک نیروی گرمایی نوسان دار که به واسطه تئوری هم بخشی انرژی افزایش می یابد یک انحراف میانگین مربعی در موقعیت در امتداد یکی از محور ها ایجاد می کند ( ) که از رابطه زیر محاسبه می شود:
(1-34)

دوباره با جایگذاری مقدار نوعی برای دما و شدت انبرک یافتیم که انحراف rms در موقعیت حدود 10 nm است. توجه شود که این معنی می دهد که آن خیلی غیر محتمل است که ذره به دام افتاده به واسطه چنگال های انبرک های نوری خود به خود پخش شود . که محدوده گیر اندازی آن حدود 300 nm است. به هر حال وقتی که ما می خواهیم از انبرک های نوری برا ی اندازه گیری رخداد های مقیاس مولکولی استفاده کنیم این 10 nm مسافت چشم گیری است.
در نهایت، برای به دست آوردن یک شرح کامل از حرکت گرمایی مشاهده شده می یابیم که آن بر روی یک طیف شدت توان لورنسی مختل می شود که آن جا دامنه به وسیله رابطه زیر داده می شود:
(1-35)

1-15 اندازه گیری نیرو:
یکی از خصوصیات منحصر به فرد انبرک های نوری توانایی آن ها نه تنها انتقال نیروهای بیش از حد کوچک به ذرات نانوسکوپی و میکروسکوپی می باشد بلکه همچنین اندازه گیری نیروها در محدوده پیکونیوتن با دقت بالا می باشد. اگر چه در اصل پتانسیل های اپتیکی از توزیع شدت در نمونه مشخص می شوند، روش معمول سنجش پتانسیل با یک ذره از نوع یکسان می باشد به طوری که برای اندازه گیری نیروها استفاده می شود. این به صورت اتوماتیک یک جفت از عدم قطعیت های آزمایشگاهی از قبیل خصوصیات انتقال شی میکروسکوپی، نمایه باریکه عرضی دقیق، یا اثرات ناشی تقریب ذره کوچک را حذف می کند و آن ها را در کالیبره کردن شامل می کند. برای کالیبره کردن، ذره به دام افتاده در چاه پتانسیل اپتیکی و حرکتش به دلیل حرکت مولکولی براونی به نمایش در آورده می شود. به طوری که در شکل 1-11 (الف) نشان داده شده است، ذره به صورت اتوماتیکی حالت چا